【數學】0.9999.......=1

[pianonrock 10]

我發現有多種方法可以證明這個= =

[一切在於心 10]

因為.........緣分 不然你咬我阿(化學老師一定會這樣回答)

[內演人 10]

不好意思

以上的觀念是有錯誤的

數學並沒有必要與現實生活或測量扯到一起 (By the way測量有誤差是必然的)

數學就是絕對精確的 不會有誤差

不會有什麼 很小很小 我們可以忽略 這都是錯誤的想法

列出目前看到的幾個錯誤

0.9循環 就是1 沒有誤差

0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零

關於0.9循環這東西 網路上有一些似乎而非的說法 很容易讓初學者誤導

歸根究底 還是不清楚 微積分或數學分析的內涵

這問題其實可以很簡單的回答

從定義

有興趣的人 請弄懂每一項名詞的定義 意義 例如極限 循環等等

再來看這個問題

如果最基礎的東西(定義) 都不曉得

那接下來的思考 其實就都沒什麼意義了

大大一席話 讓小弟受教了

不過 我還是有些地方不懂

也許 我對純理論數學知道的不多 然而在應用數學領域裡 我們不是常常忽略一些極小的數字

甚至 在泰勒數列中 我們也常常 只看前面 4項 不是嗎?

另外 根據

“Let f(X) be defined on an open interval about X0 except possibly at X0 itself. We say that the limit of f(x) as x approaches is the number L, and write

lim f(x) = L

X->X0

If, for every numberε> 0, there exists a corresponding numberδ> 0 such that for all X

0<∣x - x0 ∣<δ →∣f(x) - L∣<ε”

From “Thomas’ Calculus”, written by George B. Thomas.

和

“We write

lim f(x) = L

X->a

And say “the limit of f(x), as x approaches a, equals L”

If we can make the values of f(x) arbitrarily close to L (as aloes to L as we like) by taking x to be sufficiently close to a but not equal to a.”

From “James Stewart Calculus Concepts and Contexts” written by James Stewart

不就是在說 這當中是有可容許可忽略誤差存在嗎?

另外 關於 你說的 "0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零"

那麼 lim 1/(10^n)=??

where n->∞

又 如果 你說的 "0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零"

成立 那麼 1 - 0.000000............1=??

1/3 *3 =1 然而 0.333333333....... 與 1/3 之間的關係為何??

我們真的能說 1/3 =0.333333333........嗎?

趨近(approach) 在這是一個極度接近的意思 不是嗎??

(關於"Thomas' Calculus" 的作者 是 MIT教授 而"James Stewart Calculus Concepts and Contexts" 的作者 是 Mcmaster University 教授 上面那兩段都是分別從他們的書上 copy下來的)

望大大能解小弟多年來心中的疑惑

[pianonrock 10]

limit的意思是, 當0<∣x - x0 ∣<δ →0<∣f(x) - L∣<ε, 請注意, 是大於, 不是大於等於,

也就是f 不一定 defined on x, 所以 並不是limf(x)=a 就代表 f(x)=a, 妳所說的 絕對精準 是

指這樣嗎? 那如果是這樣的話, 這個是continuity. 跟limit有關係沒錯, 但是 是,

continuous of f at x===>limit exists at x, 但是limit exists at x 並不代表f在x是continuous.= =...還有limit f(x)=a 是指當x接近, say xo的時候, f(x)會"接近"a,而不是等於...

p.s.這邊的 eplson and delta的背後idea, 其實是一個拓樸學...= =而且是general topology...=(

p.s.s這個0.99999999---->1的東西一點都不簡單喔, 我讀到measure theory的時候還有碰到了..,所以就算妳搞懂了elementary calculus的limit idea, = =基本上也是不可能真正了解的(對我來說, 我在讀的時候是不是很了解為什麼可以這樣定義的, 直到老了看到了證明)

p.s.s.s真正的證法是要先自己定義出來real number system, 或digit system,才能證, 也就是挺難的, 不過也是可以做到的=),所以不太可能從基本的定義回答吧?

by the way, apostol那本calculus我高中有讀, 是本非常好的書, 只是volume 2稍微有一點不夠, 但是ODE的地方講了很多OPERATOR, 非常棒! =)

(oh no, 我已為是tom apostol 那本...

[內演人 10]

limit的意思是, 當0<∣x - x0 ∣<δ →0<∣f(x) - L∣<ε, 請注意, 是大於, 不是大於等於,

也就是f 不一定 defined on x, 所以 並不是limf(x)=a 就代表 f(x)=a, 妳所說的 絕對精準 是

指這樣嗎? 那如果是這樣的話, 這個是continuity. 跟limit有關係沒錯, 但是 是,

continuous of f at x===>limit exists at x, 但是limit exists at x 並不代表f在x是continuous.= =...還有limit f(x)=a 是指當x接近, say xo的時候, f(x)會"接近"a,而不是等於...

p.s.這邊的 eplson and delta的背後idea, 其實是一個拓樸學...= =而且是general topology...=(

p.s.s這個0.99999999---->1的東西一點都不簡單喔, 我讀到measure theory的時候還有碰到了..,所以就算妳搞懂了elementary calculus的limit idea, = =基本上也是不可能真正了解的(對我來說, 我在讀的時候是不是很了解為什麼可以這樣定義的, 直到老了看到了證明)

p.s.s.s真正的證法是要先自己定義出來real number system, 或digit system,才能證, 也就是挺難的, 不過也是可以做到的=),所以不太可能從基本的定義回答吧?

by the way, apostol那本calculus我高中有讀, 是本非常好的書, 只是volume 2稍微有一點不夠, 但是ODE的地方講了很多OPERATOR, 非常棒! =)

(oh no, 我已為是tom apostol 那本...

所以 我原本想法是對的媽??

因為 我從開始學時 我的老師(也許該說教授)就灌輸我" if x->0, x never equal to 0 and if x->1 x never equal to 1"

所以我才會說這中間有誤差

但是 九天大大 說的 "數學並沒有必要與現實生活或測量扯到一起....數學就是絕對精確的 不會有誤差"

讓我有點搞不懂

所以才會在翻那兩本書 確定一次

另外你說的 topology 我還沒學到

所以我不太能理解 eplson and delta

不知你有沒有推薦的自修書籍??

(因為 我要至少大2才會拿到...)

btw pianonrock大 你也是數學系嗎??

[pianonrock 10]

" if x->0, x never equal to 0 and if x->1 x never equal to 1"<===這個是很正確的, 如果是在講limit的話. 因為我們並不能確定一個任意函數在 xo上的行為, 所以我們不能說當x靠近xo的時候, f(x)靠近f(x0),我們只能說靠近某一個值, 所以更不可能說當x=x0時, f(x0)存在阿,

well, 除非妳知道f的確切表示形態.像f(x)=x之類有的沒的.

http://www.wretch.cc/album/show.php?i=rockmybrain&b=4&f=1732037243&p=3,這個function 有一個極限直l但是f(x0)是不存在的.

可是我太懂妳的誤差是什麼意思耶? 妳的誤差是指像|x-a|<g這樣嗎?

嗯哼, 如果妳是要學微機分的話, 而妳已學過single variable calculus的話, 我建議妳讀

walter ruidin的introduction to mathematical analysis, 但是如果妳single variable calculus是讀 thomas那一本的話, ruidin這一本可能會有點吃力, 我建議是:

妳可以在讀一次single variable:不過讀深入版的:

Calculus by Michael Spivak(這本是初級實分希, 但是doable)

Tomm.Apostol的calculus Volume 1 and 2(講的非常好, 很多insight跟背後的原因都講了)

(這一本還有講了很多linear algebra跟ode 還有一些Probability,當然還有multivariable calculus不過不會很夠)

讀完已上那兩本可以開始讀:

Elementary classical analysis by Marsden and Hoffman(超好的一本書, 講的很清西, 很多圖可以加強妳的思考能力)

Introduction to mathematical analysis by Walter Ruidin(很concise的一本書, 會直接切入重點, 沒有廢話, 當然, 也沒有什麼motivation給妳, 所以最好跟elementary一起讀)

好好讀完這兩本, 妳就可以直接讀測奪論了(Measure Theory).

測奪論有非常多的好書:

real and complex analysis by Ruidin(有點難)...

Real Analysis by Folland( 寫的很好, 但難)

real analysis by Royden(如果妳讀完ruidin那本intro to mathematical analysis這本對妳很輕鬆的)

Functional Analysis by Ruidin

Introductory real analysis by Kolmogorov and Fomin

Measure and integration by Wheeden and Zygmund

A course in functional analysis by Conway

Integrals and operators by Segal and Kunze

An introduction to harmonic analysis by Katznelson (難!!!)

關於topology:

ruidin那本講的還不錯, 雖然只是point..

建義同時讀

Topology by James Munkres

我想妳會愛上這些書...=)

對阿我是數學係的, 我還是統計係的...=)

P.S.數學是有誤差的(有些東西,)更有些東西建立於誤差,eg. Euler approximation, , Newton Method...sine approximation...一堆

[pianonrock 10]

這樣好了, 我給另外一個更正式的definition of limit:

f(x)--->L as x--->x0 means for every neighborhood N1( L ), there is some neightborhood N2( x0 ), s.t. f(x) in N1( L ) whenever x in N2(x0) , and "x != x0".

更仔細的說是不潤N1( L )多小, 我們都可以找到另一個N2( x0 ), 還有N2(X0) DEPENDS ON N1( L ) , 但是反過來就不一定.

neightborhood is any open interval containing a point x0 as midpoint.

[weiye 10]

這樣好了, 我給另外一個更正式的definition of limit:

f(x)--->L as x--->x0 means for every neighborhood N1( L ), there is some neightborhood N2( x0 ), s.t. f(x) in N1( L ) whenever x in N2(x0) , and "x != x0".

更仔細的說是不潤N1( L )多小, 我們都可以找到另一個N2( x0 ), 還有N2(X0) DEPENDS ON N1( L ) , 但是反過來就不一定.

neightborhood is any open interval containing a point x0 as midpoint.

x0 的 neightborhood 不一定要把 x0 當中點，只要是包含 x0 的 open set 就可以啦。

(可以參考 Munkres 的 Topology)

這樣就算是在沒有定義 metric 的 topological space ，這樣的定義會比較恰當。當然如果侷限在 R 上的話，就是任何包含 x0 的 open interval 。

在看完 Munkres 的 Topology 之後，再回頭從讀一遍 Mathematical Analysis 的書，常會有豁然開朗的感覺，那是因為站在更高的觀點去解讀，一切關係就變的更明顯了。

[pianonrock 10]

well他還沒學到metric space and topological space...

plus 在R上怎麼樣用最後都會MIDPOINT的, SINCE NEIGHBORHOOD IS SYMMETRIC..

我們在METRIC SPACE上也可以把當作一個中心來看(到R3)(有助於腦帶的GEOMETRIC THINKING吧?), SINCE

Nr(x0)=d(x,x0)<r, r>0, 可以跳來挑去的那種是limit point, 過了R3後因為空間我們想不出來, 說X0在哪很怪, 也不態正確,當然也沒有錯, 就整個怪

當然, 在某些topological space上沒有metric,我們根本沒辦法想像, SINCE NO COORDINATES!!!所以想都不用想, 只能FOLLOW DEFINITION..=(

[pianonrock 10]

HEE HEE...不過RUIDIN那部份真的講的不錯, 不過後面就...

初等實分希我還是喜歡Real Mathematical Analysis by Charles Chapman Pugh ,

我們學校的教授當然要推一下...哈哈

[weiye 10]

well他還沒學到metric space and topological space...

要這樣說的話，我也可以說~~" well 他還沒有學到the (epsilon-delta) definition of limit"

anyway, I thought the function of this board is being a place that provides additional materials and ideas that would help? :-)

我只是想提供正確的觀念，畢竟發問者也未來可能會讀數學系，所以還是嚴謹一點好，

還是有 topological space 可能會沒有定義 metric 的，呵呵。 :-)

而且單純看 R^n 的 topological space 的性質，我覺得體會會更明瞭，

真的推薦有興趣的人仔細讀讀 Munkres 的 Topology，真是好書。

[Melencolia 10]

實際上

數學裡的''等於''跟''無窮接近''

在特殊情況下會相等

這個特殊情況就是

當函數連續

仔細想想

我們在探討實數時

都是在實數軸上

－－－－－－－－－－－－－－－－－－→

這個軸充滿點

並不會說哪一點不存在

這就是所謂的連續

所以探討數的問題

實際上也是探討連續函數

所以無窮接近和等於就是同義了

如果是在探討二維

例如ｘ軸ｙ軸　　可以很簡單的說明函數不連續時　　無窮接近和等於不同義

如圖：

　　ｙ

　　↑　　　　　／

　４∣　　　　Ｏ

　　∣　　　／

　　∣　　／

　２∣　／　　˙

　　∣／　

　　└－－－－－－－－→　ｘ

　　　　　　　３

這個圖有點不清楚

在說明有一個函數

圖形為直線

不過卻是不連續的

因為f(3)=2

如果這個函數連續的話

那應該是f(3)=4才對 但是如你所見

再y=4那一點是空點

因為這個圖形不連續

所以我們這樣說:

當x趨近於3時

y=4

但是實際上當x=3時 y=2

再回到我們剛剛探討的數問題

也就是0.999999....=1

其實這就是在說當x無窮接近1時 那就是1了

因為實數是連續的

也就是實數連續性

這個問題高三學過微積分的同學可以仔細想想

[pianonrock 10]

哈哈哈, 那些話好熟悉喔...

BY THE WAY, NEIGHBORHOOD不一定是OPEN SET 喔..如果neighborhodd是open我們叫它open neighborhood.

沒有metric 的topological space: eg: topological vector space

[weiye 10]

BY THE WAY, NEIGHBORHOOD不一定是OPEN SET 喔..如果neighborhodd是open我們叫它open neighborhood.

open neighborhood 只是要特別強調 neighborhood 的 "open" 特性。

難不成你以為在哪本分析學的書裡面會出現 closed neighborhood (請不要舉離散數學裡面的圖論的 closed neighborhood 當作例子喔，那可不是分析學喔。)

看樣子，你沒有把 Munkres 的 Topology 讀熟喔，

在 Munkres 的 Topology 裡面有提到

　　　〝They shorten the statement "U is an open set containing x" to the phrase

　　　　"U is a neighborhood of x."〞

後方還有提到

　　　〝Some mathematicians use the term "neighborhood" differently. They say that

　　　　A is a neighborhood of x if A merely contains an open set containing x〞

根本的意義就是要有包含 x 的 open set ，才能稱作是 x 的 neighborhood 喔。

在 topological space 裡面， topology 裡面最重要的元素就是 open set

　　　〝If X is a topological space with topology T, we say that

　　　　a subset U of X is an open set of X if U belongs to the collection T.〞

open set 才是觀察"點"的重要工具，所以引到 Real number system 裡面，你可以看看 Rudin 的書裡面 neighborhood 都用 open ball 的定義當作是 neighborhood ，並不是只能用 open ball 當 neighborhood ，而是 open ball 是 neighborhood 的一種，而非全部，所以請不要倒末為本喔。

或是你也可以看看 Rudin 的 Real and Complex Analysis (3rd ed.) 第 35 頁最後兩行，也有與 Munkres 相同的定義。

[pianonrock 10]

sigh, 我沒有意insult你, 但是那兩本書算是中階而已, 那些authors至所以會直接把neighborhood當open, 是因為, 1.他們覺得沒必要go too deep, 2, 接下來的東西require neighborhood to be open 3.那不是他們的research field.

這是neighborhood的formal definition, 希望這個會解清妳的誤解:

If X is a topological space and p is a point in X, a neighbourhood of p is a set V, which contains an open set U containing p,such that p∈U⊆V.

V is either closed or open.

如果neighborhood是closed, 在functional analysis你會讀到一個叫neighborhood filter condition,或在hilbert space上都有這些theorem的應用,

巷if E is a Hilbert space,dimE <infinity ,if and only if there is a compact neighborhood of it , 又或在solid sequence space,還有一堆. 這些東西只會出現在數學journal, 或一些intermediate functional analysis...也許一些topology的research paper會有...

hope this helps.

如果還是有問題的話, 可以問一下你分希的教授, 他們也許會知道.

p.s.functional analysis是分希了吧.

p.s.s如果還是要argue的話, 先問完教授吧, 在不然看一些journals或paper, 或看一些高級的functional analysis, 是analysis喔, 不是graph set theory,畢竟都phd了吧.

[weiye 10]

sigh, 我沒有意insult你, 但是那兩本書算是中階而已, 那些authors至所以會直接把neighborhood當open, 是因為, 1.他們覺得沒必要go too deep, 2, 接下來的東西require neighborhood to be open

這是neighborhood的formal definition, 希望這個會解清妳的誤解:

If X is a topological space and p is a point in X, a neighbourhood of p is a set V, which contains an open set U containing p,such that p∈U⊆V.

V is either closed or open.

如果neighborhood是closed, 在functional analysis你會讀到一個叫neighborhood filter condition,這些東西只會出現在數學journal, 或一些intermediate functional analysis...

hope this helps, 你還可以找到很多closed neightborhood的idea,= =問你的指導教授我猜.

你根本沒有仔細看我剛剛打的

　　　〝Some mathematicians use the term "neighborhood" differently. They say that

　　　　A is a neighborhood of x if A merely contains an open set containing x〞

這就是你打的

　　　"a neighbourhood of p is a set V, which contains an open set U containing p,such that p∈U⊆V."

重點在 neighbourhood 裡面一定要有一個包含有點 p 的子集合，而那子集合一定要是 open 的。

而且，我會回文的初意就是說明"x0 的 neightborhood 不一定要把 x0 當中點"

我發表過的論文也不只一篇，我當然知道有些東西只是在 Journal 上才會出現，在 Journal 當然可以隨作者心意定義（不同論文的定義當然會有不一樣），

所以這裡討論的是大家都有共識的定義（也因此才會寫在書上）以及定義的根本意義。

[pianonrock 10]

= =我不覺得closed neighborhood不是那些數學家的共識, 不是的話要functional analysis幹嗎?

而且竟然妳都同意我的Neighborhood不一定是open那又何必說我沒讀熟了? (我不覺得有認何數學家喜歡聽到這句話)

我只是想告訴你, 我已為你也懂(你phd?),neighborhood不一定是open, 因為都講到topological space了.

不過你可能沒讀functional analysis?

p.s.你给的neighborhood定義是說"any open set" contains x0吧?

p.s.s.寫journal不可隨便定義吧, 那要數學幹嗎, 大家都亂定義一通就行啦

[九天驚虹 10]

大大一席話 讓小弟受教了

不過 我還是有些地方不懂

也許 我對純理論數學知道的不多 然而在應用數學領域裡 我們不是常常忽略一些極小的數字

甚至 在泰勒數列中 我們也常常 只看前面 4項 不是嗎?

另外 根據

“Let f(X) be defined on an open interval about X0 except possibly at X0 itself. We say that the limit of f(x) as x approaches is the number L, and write

lim f(x) = L

X->X0

If, for every numberε> 0, there exists a corresponding numberδ> 0 such that for all X

0<∣x - x0 ∣<δ →∣f(x) - L∣<ε”

From “Thomas’ Calculus”, written by George B. Thomas.

和

“We write

lim f(x) = L

X->a

And say “the limit of f(x), as x approaches a, equals L”

If we can make the values of f(x) arbitrarily close to L (as aloes to L as we like) by taking x to be sufficiently close to a but not equal to a.”

From “James Stewart Calculus Concepts and Contexts” written by James Stewart

不就是在說 這當中是有可容許可忽略誤差存在嗎?

另外 關於 你說的 "0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零"

那麼 lim 1/(10^n)=??

where n->∞

又 如果 你說的 "0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零"

成立 那麼 1 - 0.000000............1=??

1/3 *3 =1 然而 0.333333333....... 與 1/3 之間的關係為何??

我們真的能說 1/3 =0.333333333........嗎?

趨近(approach) 在這是一個極度接近的意思 不是嗎??

(關於"Thomas' Calculus" 的作者 是 MIT教授 而"James Stewart Calculus Concepts and Contexts" 的作者 是 Mcmaster University 教授 上面那兩段都是分別從他們的書上 copy下來的)

望大大能解小弟多年來心中的疑惑

感覺這討論越來越不像高中 不過如果我有時間 也會參與討論的

讓我們一項一項看

不過 我還是有些地方不懂

也許 我對純理論數學知道的不多 然而在應用數學領域裡 我們不是常常忽略一些極小的數字

甚至 在泰勒數列中 我們也常常 只看前面 4項 不是嗎?

這話沒有錯

基於實際的用途

我們是可以忽略掉極小的數字

在物理上更是這樣

譬如

在實際物理問題的精確度下

在夠小角度下 sinx~x 這式子就沒問題

但這並不是說sinx=x

但在忽略的同時 我也知道 這樣的值是近似的 是在某些條件下才能成立

另外 根據

“Let f(X) be defined on an open interval about X0 except possibly at X0 itself. We say that the limit of f(x) as x approaches is the number L, and write

lim f(x) = L

X->X0

If, for every numberε> 0, there exists a corresponding numberδ> 0 such that for all X

0<∣x - x0 ∣<δ →∣f(x) - L∣<ε”

From “Thomas’ Calculus”, written by George B. Thomas.

和

“We write

lim f(x) = L

X->a

And say “the limit of f(x), as x approaches a, equals L”

If we can make the values of f(x) arbitrarily close to L (as aloes to L as we like) by taking x to be sufficiently close to a but not equal to a.”

From “James Stewart Calculus Concepts and Contexts” written by James Stewart

不就是在說 這當中是有可容許可忽略誤差存在嗎?

這定義一點都沒有說 要忽略誤差噢!

想法很簡單 反過來思考

如果真的有誤差

那麼那個式子就不會成立

[b另外 關於 你說的 "0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零"

那麼 lim 1/(10^n)=??

where n->∞

又 如果 你說的 "0.00000..........1 基本上不等於0 也不是所謂的趨近於零"

成立 那麼 1 - 0.000000............1=??

1/3 *3 =1 然而 0.333333333....... 與 1/3 之間的關係為何??

我們真的能說 1/3 =0.333333333........嗎?

趨近(approach) 在這是一個極度接近的意思 不是嗎??

1/3 =0.3333... 這式子若要成立 只有在有無窮個3無限循環才會成立

0.000....1 基本上就不會是零 因為最後一個數字很明顯就是1了阿

1-0.000...1 這很簡單 應該不需要算了吧!

[b趨近(approach) 在這是一個極度接近的意思 不是嗎??

這樣說是不好的

請參考極限的定義!

[weiye 10]

= =我不覺得closed neighborhood不是那些數學家的共識, 不是的話要functional analysis幹嗎?

而且竟然妳都同意我的Neighborhood不一定是open那又何必說我沒讀熟了? (我不覺得有認何數學家喜歡聽到這句話)

我只是想告訴你, 我已為你也懂(你phd?),neighborhood不一定是open, 因為都講到topological space了.

不過你可能沒讀functional analysis?

p.s.你给的neighborhood定義是說"any open set" contains x0吧?

p.s.s.寫journal不可隨便定義吧, 那要數學幹嗎, 大家都亂定義一通就行啦

是你說

neightborhood is any open interval containing a point x0 as midpoint.

我強調不一定要以 x0 為中點，沒錯吧！

所以把你定義的 x0 為中點，改成 any open set containing x0 沒錯吧！

你又提出，neighborhood 不一定要 open ，沒錯吧！

我強調，在 Munkres 跟 Rudin 的書裡都有提到，要嘛就定義成 open set conatining the point x 或是也有人定義成 A is a neighborhood of x if A merely contains an open set containing x ，沒錯吧！

我說〝在哪本分析學的書裡面會出現 closed neighborhood ？〞沒錯吧！

你沒有回答我哪本說，卻轉過來提，在 Journal 裡面會出現沒錯吧！

你跟我提了一個，跟我回的 Munkres 跟 Rudin 的書裡都有提到 neighborhood 的定義一樣的定義，沒錯吧！

我從來就沒有說過〝journal是隨便定義〞，沒錯吧！

我是說〝在 Journal 當然可以隨作者心意定義（不同論文的定義當然會有不一樣）〞

我也沒有說〝closed neighborhood不是那些數學家的共識〞，

我是說，並沒有看到書上有定義〝closed neighborhood〞沒錯吧！

請確認一下，我這裡有說錯嗎？

[pianonrock 10]

x0 的 neightborhood 不一定要把 x0 當中點，只要是包含 x0 的 open set 就可以啦。

(可以參考 Munkres 的 Topology)

這樣就算是在沒有定義 metric 的 topological space ，這樣的定義會比較恰當。當然如果侷限在 R 上的話，就是任何包含 x0 的 open interval 。

你回的吧?

再看清楚一次.

x0 的 neightborhood 不一定要把 x0 當中點，只要是包含 x0 的 open set 就可以啦。

(可以參考 Munkres 的 Topology)

而我說的是在R上喔...在"R"上喔..

well他還沒學到metric space and topological space...

plus 在R上怎麼樣用最後都會MIDPOINT的, SINCE NEIGHBORHOOD IS SYMMETRIC..

我們在METRIC SPACE上也可以把當作一個中心來看(到R3)(有助於腦帶的GEOMETRIC THINKING吧?), SINCE

Nr(x0)=d(x,x0)<r, r>0, 可以跳來挑去的那種是limit point, 過了R3後因為空間我們想不出來, 說X0在哪很怪, 也不態正確,當然也沒有錯, 就整個怪

當然, 在某些topological space上沒有metric,我們根本沒辦法想像, SINCE NO COORDINATES!!!所以想都不用想, 只能FOLLOW DEFINITION..=(

這是我回的第二篇, 哪裡有講NEIGHBORHOOD IS ANY OPEN SET CONTAINS X0?我完全是在講他可以當作MIDPOINT來看吧.

所以後來說又加了一偏, NEIGHBORHOOD不一定是OPEN, 因為妳的DEFINITION

x0 的 neightborhood 不一定要把 x0 當中點，只要是包含 x0 的 open set 就可以啦。

(可以參考 Munkres 的 Topology)

這樣就算是在沒有定義 metric 的 topological space ，這樣的定義會比較恰當。當然如果侷限在 R 上的話，就是任何包含 x0 的 open interval 。

根本就是不正確的.

然後你也同意, 因為妳自己都打...

　　　〝Some mathematicians use the term "neighborhood" differently. They say that

　　　　A is a neighborhood of x if A merely contains an open set containing x〞

。

但是我想你英文沒差到看不懂吧? 他可不是說A是OPEN喔, 他是說A有一個OPEN SUBSET CONTAINS X0 "A是 OPEN很不一樣喔"

這樣就算是在沒有定義 metric 的 topological space ，這樣的定義會比較恰當。當然如果侷限在 R 上的話，就是任何包含 x0 的 open interval 。

然後這邊都講到TOPOLOGICAL SPACE, PHD的您, 當然應該知道NEIGHBORHOOD不一定是OPEN吧?

但你回

open neighborhood 只是要特別強調 neighborhood 的 "open" 特性。

難不成你以為在哪本分析學的書裡面會出現 closed neighborhood (請不要舉離散數學裡面的圖論的 closed neighborhood 當作例子喔，那可不是分析學喔。)

對吧?

然後我想可能因為你沒讀FUNCTIONAL ANALYSIS...

但你又說哪一本分西...

我發表過的論文也不只一篇，我當然知道有些東西只是在 Journal 上才會出現，在 Journal 當然可以隨作者心意定義（不同論文的定義當然會有不一樣），

所以這裡討論的是大家都有共識的定義（也因此才會寫在書上）以及定義的根本意義。

這又是妳後來回的...

在 Journal 當然可以隨作者心意定義（不同論文的定義當然會有不一樣），

看到了嗎?

我強調，在 Munkres 跟 Rudin 的書裡都有提到，要嘛就定義成 open set conatining the point x 或是也有人定義成 A is a neighborhood of x if A merely contains an open set containing x ，沒錯吧！

我說〝在哪本分析學的書裡面會出現 closed neighborhood ？〞？

你說的? 在比照一次..

open neighborhood 只是要特別強調 neighborhood 的 "open" 特性。

難不成你以為在哪本分析學的書裡面會出現 closed neighborhood (請不要舉離散數學裡面的圖論的 closed neighborhood 當作例子喔，那可不是分析學喔。)

妳是說, "難不成"我已為哪裡會出現喔...不是你問我哪一本書會出現喔?不會國文也不行吧?

是

你沒有回答我哪本說，卻轉過來提，在 Journal 裡面會出現沒錯吧！

我在JOURNAL 看到的, 當然說JOURNAL, 難到PHD還有很多TEXT BOOK給妳看?

看的都是RESEARCH PAPER..OK?難到那些不算東西嗎, 那每年的PHD畢業生是白白花了四五年看屁嗎? 而且書上也有, 知道TERRY TOU老師出的FUNCTIONAL ANALYSIS吧? 有興趣看看吧.

我也沒有說〝closed neighborhood不是那些數學家的共識〞，

我是說，並沒有看到書上有定義〝closed neighborhood〞沒錯吧！

再比對一下阿...

我發表過的論文也不只一篇，我當然知道有些東西只是在 Journal 上才會出現，在 Journal 當然可以隨作者心意定義（不同論文的定義當然會有不一樣），

所以這裡討論的是大家都有共識的定義（也因此才會寫在書上）以及定義的根本意義。

因此才會在書上? 那在RESEARCH PAPER上? 在JOURNAL上? 不是共識?

別在搞笑了...有點強詞奪理了.

請你不要讓我對台灣的數學家改觀, 之前有一偏我搞錯我就說我搞錯了, 沒必要再辯了吧?

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而我說的是在R上喔...在"R"上喔..

在 R 上本來也就不需要把 x0 當中點了。

這是我回的第二篇, 哪裡有講NEIGHBORHOOD IS ANY OPEN SET CONTAINS X0?我完全是在講他可以當作MIDPOINT來看吧.

我強調的就是，在 R 上本來也就不需要把 x0 當中點了。沒錯吧！

所以後來說又加了一偏, NEIGHBORHOOD不一定是OPEN, 因為妳的DEFINITION

根本就是不正確的.

然後你也同意, 因為妳自己都打.../QUOTE]

我舉出書上的定義就是要強調，一定要有 open set 包含 x0 ，才成稱作是 neighborhood 。

我是引述Munkres 以及 Rudin 書裡的 Definition ，裡面跟你後來提的

If X is a topological space and p is a point in X, a neighbourhood of p is a set V, which contains an open set U containing p,such that p∈U⊆V.

根本就是同義，你說的"根本就是不正確的."難不成是在反駁你自己？

但是我想你英文沒差到看不懂吧? 他可不是說A是OPEN喔, 他是說A有一個OPEN SUBSET CONTAINS X0 "A是 OPEN很不一樣喔"

你英文沒差到看不懂吧?這一段是我引述的，我也有說明，這是 neighborhood 的另一種定義法，但你沒看見嗎？也一定要有 OPEN SUBSET CONTAINS X0 。

〝Some mathematicians use the term "neighborhood" differently. They say that

　　　　A is a neighborhood of x if A merely contains an open set containing x〞

然後我想你根本不知道有CLOSE NEIGHBORHOOD, 跟OPEN NEIGHBORHOOD是什麼,所以妳回

對吧?

妳是說, "難不成"我已為哪裡會出現喔...不是你問我哪一本書會出現喔?不會國文也不行吧?

這你就錯了，我只是希望你提供一下哪一本分析學的書裡面有定義"CLOSE NEIGHBORHOOD" ？找不出來嗎？沒看到我寫的"分析學的書"？還是中文不太好嗎？

我想你博士沒拿好,就像你說的, 你PAPER是你隨心寫的吧.

我可沒有說過我有拿 Ph. D.， 還沒拿到 Ph. D 先發表三篇 SCI 等級的 paper 不行嗎？

MathSciNet 自己蒐呀 Chen,Wei-Yueh

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