【討論】有關砲彈發射的問題討論

typhoonss821

由 typhoonss821,
在 物理版

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typhoonss821

typhoonss821 10

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有一砲彈自原點以仰角a度發射，初速為v，若不考慮空氣阻力，且重力加速度以g表示，是求a為何時，此砲彈掉落於最遠處？

設s(t)=<x(t),y(t)> 為第t秒此砲彈之位置

則s'(t)=<x'(t),y'(t)>為第t秒時之速度向量

且t=0時 s'(0)=<vcos(a),vsin(a)>..............a

若此砲彈質量為m，則第t秒時期所受之力為

F=ms''(t)=m<0,-g>

所以s''(t)=<0,-g>

對t積分並引入s'(0)=<vcos(a),vsin(a)>可得

s'(t)=<vcos(a),vsin(a)-gt>.....................b

再積分

s(t)=<vtcos(a),vtsin(a)-1/2gt^2>.................c

當y(t)=0時即為落至地面之時

-1/2gt^2+vtsin(a)=0

t=2vsin(a)/g , 0

帶入x(t)得

x(t)=2v^2sin(a)cos(a)/g , 0

射程最遠即2v^2sin(a)cos(a)/g-0最大

即v^2sin(2a)/g最大，不難看出a=45 射程最遠為v^2/g

以上是我整理的求法，請問各位還有沒有更簡潔的作法

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清純小百合

清純小百合 10

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有一砲彈自原點以仰角a度發射，初速為v，若不考慮空氣阻力，且重力加速度以g表示，是求a為何時，此砲彈掉落於最遠處？

設s(t)=<x(t),y(t)> 為第t秒此砲彈之位置

則s'(t)=<x'(t),y'(t)>為第t秒時之速度向量

且t=0時 s'(0)=<vcos(a),vsin(a)>

若此砲彈質量為m，則第t秒時期所受之力為

F=ms''(t)=m<0,-g>

所以s''(t)=<0,-g>

對t積分並引入s'(0)=<vcos(a),vsin(a)>可得

s'(t)=<vcos(a),vsin(a)-gt>

再積分

s(t)=<vtcos(a),vtsin(a)-1/2gt^2>

當y(t)=0時即為落至地面之時

-1/2gt^2+vtsin(a)=0

t=2vsin(a)/g , 0

帶入x(t)得

x(t)=2v^2sin(a)cos(a)/g , 0

射程最遠即2v^2sin(a)cos(a)/g-0最大

即v^2sin(2a)/g最大，不難看出a=45 射程最遠為v^2/g

以上是我整理的求法，請問各位還有沒有更簡潔的作法

用等加速度公式解聯立即可 R=v*sin2a/g

R的最大值 一樣是在a=45度時

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  • 2 weeks later...
uvxy1234

uvxy1234 10

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有一砲彈自原點以仰角a度發射，初速為v，若不考慮空氣阻力，且重力加速度以g表示，是求a為何時，此砲彈掉落於最遠處？

設s(t)=<x(t),y(t)> 為第t秒此砲彈之位置

則s'(t)=<x'(t),y'(t)>為第t秒時之速度向量

且t=0時 s'(0)=<vcos(a),vsin(a)>

若此砲彈質量為m，則第t秒時期所受之力為

F=ms''(t)=m<0,-g>

所以s''(t)=<0,-g>

對t積分並引入s'(0)=<vcos(a),vsin(a)>可得

s'(t)=<vcos(a),vsin(a)-gt>

再積分

s(t)=<vtcos(a),vtsin(a)-1/2gt^2>

當y(t)=0時即為落至地面之時

-1/2gt^2+vtsin(a)=0

t=2vsin(a)/g , 0

帶入x(t)得

x(t)=2v^2sin(a)cos(a)/g , 0

射程最遠即2v^2sin(a)cos(a)/g-0最大

即v^2sin(2a)/g最大，不難看出a=45 射程最遠為v^2/g

以上是我整理的求法，請問各位還有沒有更簡潔的作法

計算實在過於冗長

而且應盡量避免動輒使用微積分

其實這題只要從鉛直與水平的運動方程解加以考慮即可

y方向: 鉛直方向為等加速度運動 vsin(a)-gt=0 t為物體由初拋至最高點的時間 則可得物體全程飛行時間2t=2vsin(a)/g

x方向: R為水平位移 水平方向為等速運動 則R=vcos(a)*2t=2vsin(a)*vcos(a)/g= v^2sin(2a)/g

由式中可知 當sin(2a)=1 即a=45度時 R將有max= v^2/g

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poyn18286

poyn18286 10

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從現象看：

1.速度

水平方向(X)：V cosa

鉛直方向(Y)：Vsin a

2.想法

飛行時間：

因為力學能守衡，質點由地表上升至最高處，再落回地表，從地表發

射之鉛直速率應等於落回地表之瞬間鉛直速率，也就是”鉛直”

速度變化量”＝2Vsin a

由於速度變化量是重力加速度(g)所造成的

＝＞可表達出：g × t ＝ 2Vsin a

＝＞ t ＝ 2Vsina ÷ g

飛行距離：

飛行距離可用”水平速度”×”飛行時間”表示。

所以，距離＝V cosa × 2Vsin a/g

故 a ＝ 45 度 時，有最大值

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zivisme

zivisme 10

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痾...直覺就是45度...

角度高 空中停留時間久 但是水平速度小

角度低 空中停留時間短 但是水平速度大

所以就45度吧...夠直覺吧!這就是物理啊...

當然要證明以可以...設未知數解一解就有了....

但是

學物理要有感覺

不要只是盲目的一直算算算

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typhoonss821

typhoonss821 10

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  • 作者
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我計算的結果是45度，而最大射程為(v+(v^(2)+4gh)^(2))v/(2g)

將前篇c式改為s(t)=<vtcos(a),vtsin(a)-1/2gt^2+h>

vtsin(a)-1/2gt^2+h=0

得t=(vsin(a)+(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5))/g

代入vtcos(a)

得v^(2)sin(2a)/(2g)+vcos(a)(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5))/g

求其最大值 因v/g為不變量 故先消除

vsin(2a)/2+cos(a)(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5)) 求其最大值

若a=45

上式為1=v/2+2^(0.5)(v^(2)/2+2gh)^(0.5)/2

現在只需證明a不論為何數，其結果將小於上式即可

vsin(2a)/2+cos(a)(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5)) -v/2-2^(0.5)(v^(2)/2+2gh)^(0.5)/2

=1/2(sin(2a)-1)v+cos(a)(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5))-2^(0.5)(v^(2)/2+2gh)^(0.5)/2

不難看出上式恆小於等於0

故v^(2)sin(2a)/(2g)+vcos(a)(sin^(2)(a)+2gh)^(0.5))/g之最大值為(v+(v^(2)+4gh)^(2))v/(2g)

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typhoonss821

typhoonss821 10

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呃......

在上篇我發的那篇中計算上的確出現了一些瑕疵

再高度h不為0時，拋射角度應小於45度

至於為多少，則因h而變

物理......

我認為是一門用數學語言表達自然定律的學科

在越複雜的自然現象中自然運用到越複雜的表示法

但我必須澄清：雖然我發的幾篇中式子看起來複雜，但在過程中如果是靠著自己邏輯推演一步步演進，其繁瑣的感受會大大減低

最終導出結果

其實我在4/29號的那篇發文中的目的僅適用為分球出最大值出現的時候，並沒有多大困難度，只是在打的過程中式子變複雜了，其實不然

再者，物理科學或其他學科重的是「證據」

光憑直覺並沒有辦法給別人認同的依據，那也只是假設階段，並未證實

因此，在科學演進中有了伽利略一段話：「自然寫在宇宙這本大書上，這本書始終攤開給我們看。但是若不先學會其中所使用的語言與字母，是讀不懂這本書的，而這本書是用數學語

言寫成的。」可見數學證據在科學上的重要性

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typhoonss821

typhoonss821 10

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先假設質心出發時是在h/2的高度

那麼物體落地時質心也必再h/2的高度

請問你的意思是不是例如一均勻球體質心為球心？

如果如此則我們討論球體落下時質心的高度為0，於此情形拋射角度為多少時射程最遠

在此式中vsin(2a)/2+cos(a)(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5))對a微分並將a帶45

則可發現當h不為0時,所得結果不為0

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孤城

孤城 10

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請問你的意思是不是例如一均勻球體質心為球心？

如果如此則我們討論球體落下時質心的高度為0，於此情形拋射角度為多少時射程最遠

在此式中vsin(2a)/2+cos(a)(sin^(2)(a)v^(2)+2gh)^(0.5))對a微分並將a帶45

則可發現當h不為0時,所得結果不為0

不是，我知道你的意思

照你的描述從高度h以45度出發的話，那麼當他落回到h高度時會剛好45度

但還要再下落一段h的高度到0位面，則此時角度不等於45度

但我的意思是假設一長度為2h的直立圓柱(看起來像人棍)

然後以45度斜拋

過程中此圓柱仍維持直立(就假設我們飛在空中時頭朝上腳朝地，且腳不縮起來)

那麼此圓柱落地時仍為直立的情況下(就好像我們雙腳立定著地，不考慮受傷的情況= =)

那麼在此過程中質心以45度出發且以45度結束運動

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typhoonss821

typhoonss821 10

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不是，我知道你的意思

照你的描述從高度h以45度出發的話，那麼當他落回到h高度時會剛好45度

但還要再下落一段h的高度到0位面，則此時角度不等於45度

但我的意思是假設一長度為2h的直立圓柱(看起來像人棍)

然後以45度斜拋

過程中此圓柱仍維持直立(就假設我們飛在空中時頭朝上腳朝地，且腳不縮起來)

那麼此圓柱落地時仍為直立的情況下(就好像我們雙腳立定著地，不考慮受傷的情況= =)

那麼在此過程中質心以45度出發且以45度結束運動

照這種情形來看

所討論的還是質心在h高度拋射,在掉落至h高度時的最大射程

但現在的問題是「質心從h高度拋射，於拋射角多少時，掉落至地面有最大射程」

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  • 3 weeks later...
孤城

孤城 10

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照這種情形來看

所討論的還是質心在h高度拋射,在掉落至h高度時的最大射程

但現在的問題是「質心從h高度拋射，於拋射角多少時，掉落至地面有最大射程」

恩...我那篇忘記是要回哪層樓的了

總之是我離題了

回到原題

我同意樓上n層樓的看法

我想逆推會比較簡單

而根據路徑的可逆性，落地時45度回推回去應該可得拋射角

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