【問題】幾題有趣的問題

[清風明月 10]

(1)

若正整數a,b,c滿足方程組　28b^3=27ac^2

　　　　　　　　　　　 {

　　　　　　　　　　　　a=b+2c

則a:b:c=?

(2)

若 a,b,c,d 為正整數　滿足 a^5=b^4, c^3=d^2 且 c-a=19 求 d-b=?

(3)

n為大於1的自然數　試證1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)不是整數

[howard91 10]

(1)

28(b^3) = 27a(c^2) (1)

a = b+2c (2)

(1)可知 (b^3) =

27a(c^2)

────

28

(2)可知 b = a-2c

(b^3) = a - 2(c^3) = (a^3) - 6(a^2)c + 12a(c^2) - 6(c^3)

∴ (a^3) - 6(a^2)c + 12a(c^2) - 6(c^3) =

27a(c^2)

────

28

28(a^3) - 168(a^2)c + 309a(c^2) - 6(c^3) = 0

(a^2)(28a - 168c) + (c^2)(309a - 6c) = 0

∵a.b.c屬於正整數

∴28a - 168a^2c = 0 => a = 6c (3)

或309a - 6c = 0 => 103a = 2c (4)

把(3)代入(2) 6c = b+2c

b = 4c

∴a:b:c = 2:3:12

把(4)代入(2) b = -103a 不合

答案:a:b:c = 2:3:12

(2)

設(x^20) = (a^5) = (b^4)

(y^6) = (c^3) = (d^2)

∴a = (x^4)

b = (x^5)

c = (y^2)

d = (y^3)

∵c-d = 19

∴(y^2) - (x^4) = 19

[y+(x^2)][y-(x^2)] = 19

19 = (1*19)

得y + (x^2) = 19 (1)

y - (x^2) = 1 (2)

(1) + (2) 2y = 20

y = 10

(x^2) = 9

x = 3

d - b = (y^3) - (x^5) = (10^3) - (3^5) = 1000 - 243 = 757

答案:d - b = 757

[清風明月 10]

可是我用7:3:2帶進去算也合耶.....

再說a=b+2c

如果a:b:c=2:3:12

那麼令a=2r　b=3r　c=12r

2r=3r+12r　好像不甚合理=　="

第二題我算法跟你一樣　安心了XD

[howard91 10]

抱歉......(1)的思路有錯誤

更正:

28(b^3) = 27a(c^2)

(b^3) : [a(c^2)] = 27r : 28r

∴b : [a(c^2)] = 3r : 28r

∴b = 3 and a(c^2) = 28 (因為a:b:c為最簡)

(b + 2c)(c^2) = 28

28 = (2^2)*7

∴(c^2) = 1 or 4 or 16

c = 1 or 2 or 4

用 c = 1 代入原式

a = 3 + 1*2 => a = 5

28(3^3) = 27*5*(1^2)

756 = 135 矛盾

用 c = 2 代入原式

a = 3 + 2*2 => a = 7

28(3^3) = 27*7*(2^2)

756 = 756

用 c = 4 代入原式

a = 3 + 4*2 => a = 11

28(3^3) = 27*11*(4^2)

756 = 4752 矛盾

答案: a : b : c = 7 : 3 : 2

[KID1412 10]

(3)n為大於1的自然數　試證1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)不是整數

加個條件(且n>1)

嚴謹證明要打好多字...我大該說說想法請各位指教吧!

假設1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)=k(k屬於整數)

兩邊同乘以[1,2,3...n]

則左奇右偶必不相等

所以假設錯誤!得証k不屬於整數!

[清風明月 10]

(3)n為大於1的自然數　試證1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)不是整數

加個條件(且n>1)

嚴謹證明要打好多字...我大該說說想法請各位指教吧!

假設1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)=k(k屬於整數)

兩邊同乘以[1,2,3...n]

則左奇右偶必不相等

所以假設錯誤!得証k不屬於整數!

不用加吧.......一開始就有了　囧

至於那個想法是因為[1,2,3,...,n]會跟其中的一個分數消掉所有的2

也就是只剩其他非2的質因數　因而變成奇數的意思嗎?

[KID1412 10]

不用加吧.......一開始就有了　囧

至於那個想法是因為[1,2,3,...,n]會跟其中的一個分數消掉所有的2

也就是只剩其他非2的質因數　因而變成奇數的意思嗎?

看太快抱歉! 沒錯就是那樣!

[k23939889 10]

哪裡有趣了．．真難算．．．．．．．．

[KID1412 10]

(3)n為大於1的自然數　試證1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)不是整數

各位可以試試進一步證明n>1,1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+...+(1/n)=k/h

其中(h,k)=1且h偶k奇