【數學】試證一直線與圓只能相交於兩點

[kimchihsnu 10]

我是高一新生XD

沒補習所以寫些題目..

請問這題如何證明?

我是想說他的反證

設一直線與圓有兩個以上交點..

可是想不下去= =

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修改命題

我沒打清楚

是一直線與圓最多只能有兩個交點

[九天驚虹 10]

我是高一新生XD

沒補習所以寫些題目..

請問這題如何證明?

我是想說他的反證

設一直線與圓有兩個以上交點..

可是想不下去= =

這個命題很明顯是錯的

一條直線與圓也可以發生沒有交點的情況(圓與直線的距離大於半徑)

[怀沙 12]

是「最多」有兩個交點吧？

[清風明月 10]

我用的是解析幾何的方法　這方法應該是高二範圍

小弟拙見希望能拋磚引玉

假設圓的方程式

由於你才高一　我大概講一下好了

首先圓的性質是"圓上每一點跟圓心的距離相等"

假設圓心在座標平面上是(h,k)　半徑是r

這時候如果點(x,y)在這個圓上　那麼它到圓心(h,k)的距離就會是r

那麼我們可以使用距離公式(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

(以上是將距離公式直接平方後的結果　這個式子稱為圓的標準式)

接下來是重點了　要怎麼判定直線跟圓最多只有兩個交點呢?

我們先令一條任意直線y=ax+b　然後把它代入圓的方程式

此時會得到(x-h)^2+(ax+b-k)^2=r^2

這個一元二次方程式　接下來要使用的是一個高斯大師曾經證明過的好用定理

"代數基本定理"　一元n次方程式最多有n個複數根

所以這個方程式最多只有兩個實數解→直線跟圓最多只有兩個交點

[清風明月 10]

至於我們為什麼可以將直線代入求解→找出交點呢?

事實上我們在解方程式的時候　在幾何意義上就是取交集的意思

那麼在於這兩個方程式也不例外

y=ax+b　和　(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

找出交點→這兩個圖形的交集→解聯立

所以可以使用代入解　找出相交的點

[九天驚虹 10]

要找最多的交點

不妨就一個一個試

首先 可能完全沒有交點

恩 隨便畫個圖 就可以發現這是錯的

再來 最多一個交點

恩 畫個圖也可以發現 可以出現交於兩點的情形

因此這也是錯的

其後

不管怎麼畫

會發現 不管我怎麼畫 最多似乎只能交於兩點

因此可以合理的懷疑

是否不可能相交於三點或三點以上

那麼 就假設交於三點

因此得到 一個圓上 有不同的三點 都在同一條直線上

很容易就發現 這樣的情況是矛盾的