【數學】有關數學期望值 和 機率 的兩個問題

[z52017 10]

問題如下:

１.有編號1~n的球與箱子,今隨意將所有球放入箱子(每箱放一個),

　若箱子號碼與球號相同者稱為一個配對,求配對數的期望值。

２.甲乙丙三人比賽,擲硬幣,由甲開始,依次換乙.丙,然後再換甲....。

　一次擲一枚公正硬幣，同一個人連續擲出兩次正面者為贏家。

　（例如：甲一開始擲正面，換乙，換丙，再換甲，若甲又擲出正面，

　　　　　則甲獲勝，比賽結束。）

求甲，乙，丙的獲勝機率。

參考答案：第一題：１，第二題：（無參考答案）

求　　　想法或者計算過程或者證明　　　謝謝∼

[清純小百合 10]

請先提出你自己的看法 才有繼續討論下去的意義

[heineken 11]

練習一下第二題...

甲要得勝的話,必須第一次是正,第二次也是正,所以是1/4

乙要得勝的話,也必須兩次都是正>>1/4,然後再扣掉甲乙都勝的可能(因為甲在乙之前,如甲勝,乙就結束了),所以,1/4 - 1/16 = 3/16

丙的話,要扣掉甲丙同時勝(乙敗)ˋ乙丙勝(甲敗)以及甲乙丙都勝的機率

不確定是不是這樣@@

[heineken 11]

第一題的話

首先1如果要配到1的話,機率是1/n

2如果要配到2的話,也是1/n

.......

n要配到n的話,照樣是1/n

因此,有n個1/n相加

>>> n(1/n) = 1

不知道是不是這樣算...如果不是當我在湊答案好了XDDDDDDDD

[fay 10]

練習一下第二題...

甲勝＋乙勝＋丙勝＝１

三人勝機率同

故甲勝＝乙勝＝丙勝＝１／３

應該吧參考用

[weiye 10]

練習一下第二題...

甲勝＋乙勝＋丙勝＝１

三人勝機率同

故甲勝＝乙勝＝丙勝＝１／３

應該吧參考用

我怎麼覺得三人獲勝機率好像不同，

如果甲獲勝機率是 p 的話，

那乙應該是 p*(1/2+1/4)

(也就是甲的頭一場是*反面*，或是甲的頭兩場是*正面反面*，的情況，

至少甲沒有因為先手而勝，這樣乙才有可能獲勝，

當然上面的 1/2+1/4 也可以寫成 1-1/4

也就是扣掉甲頭兩場是*正面正面*的情況)

丙獲勝機率是 p*(1/2+1/4)^2

(理由同上)

而 p + p*(1/2+1/4) + p*(1/2+1/4)^2 = 1

可以解得 p = 16/37

故甲乙丙獲勝機率各別是 16/37, 12/37, 9/37

不知道對不對，看有沒有人可以一起討論一下吧。

[九天驚虹 10]

練習一下第二題...

甲勝＋乙勝＋丙勝＝１

三人勝機率同

故甲勝＝乙勝＝丙勝＝１／３

應該吧參考用

問題是 如何知道三人的勝率相同?

要是我 會猜先擲的人先贏

不過光憑直覺很危險

待會想想怎麼做= ="

[九天驚虹 10]

問題是 如何知道三人的勝率相同?

要是我 會猜先擲的人先贏

不過光憑直覺很危險

待會想想怎麼做= ="

先討論甲贏的情況

甲要贏有非常多種情形

他可以第一輪就贏 也可以第二輪, ....

第一輪贏 情形為： + 口 口 + 機率：2*2 / 16 = 1/4

第二輪贏 情形為：

第三輪贏 情形為：

如果可以找出規律

這一題就能結束

不過光是要處第二輪就有點麻煩了

[fay 10]

以１０隻籤其一紅

第一個抽的機律是１／１０

第２個抽的機律是１／１０

情詳見第４冊地三章有詳解

我市用此論解的

[九天驚虹 10]

以１０隻籤其一紅

第一個抽的機律是１／１０

第２個抽的機律是１／１０

情詳見第４冊地三章有詳解

我市用此論解的

喔? 怎麼知道這兩者的情況一樣?

這次單獨看乙獲勝的機率

第一輪就贏： - + 口 口 + 機率： 4/32

或 + + 口 - + 機率：2/32

因此第一輪贏的機率為 6/32 = 3/16 < 1/4 (甲第一輪贏的機率)

接下來乙要贏的機率會愈來愈小

並且可以推測對應的輪數會小於甲

因此 甲獲勝的機率應比乙獲勝的機率大

[weiye 10]

以１０隻籤其一紅

第一個抽的機律是１／１０

第２個抽的機律是１／１０

情詳見第４冊地三章有詳解

我市用此論解的

你說的情形是在有限回合一定會結束的情況下，

無限的情況下是要看每個人第一場的勝率比去處裡，

這應該也有課本中類似的題目，你可以試著把題目改成取得第一次正面的人勝就知道了，

則改成第一次取得正面的人勝的話，

甲的勝率就是 1/2 + (1/2)^4 + (1/2)^7 + .... = p

(也就是甲在第一或四或七、‧‧‧場獲勝的機率之和)

乙的勝率就是 (1/2)^2 + (1/2)^5 + (1/2)^8 + .... = p*(1/2)

(也就是乙在第二或五或八、‧‧‧場獲勝的機率之和)

丙的勝率就是 (1/2)^3 + (1/2)^6 + (1/2)^9 + .... = p*(1/2)^2

(也就是丙在第三或六或九、‧‧‧場獲勝的機率之和)。

[磁單極 10]

第一題的話

首先1如果要配到1的話,機率是1/n

2如果要配到2的話,也是1/n

.......

n要配到n的話,照樣是1/n

因此,有n個1/n相加

>>> n(1/n) = 1

不知道是不是這樣算...如果不是當我在湊答案好了XDDDDDDDD

我覺得好像錯了喔

因為他問的是期望直耶

所以每一項因該要呈上機率才對

用錯未排列的觀念解好像比較方便

PS課本上有交的樣子

[磁單極 10]

而且他是無限多項的

所以最後因該會得到一個收斂的無窮極