第一次北模的一題多項式

[阿懷 10]

已知f(x)為一實係數多項式, 且f(1)=f(5) > f(2)=f(4). 若f(x)除以(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)的餘式為r(x), 則下列何者可能為r(x)?

(1) 5

(2)-x+2.5

(3)x^2+6x+8

(4)-x^2+6x+8

(5)(x-3)^4+6

小弟我數學不好, 只看得出來(5)是錯的, 剩下的都不知如何判斷, 有請各位幫個忙摟:$

[如夢幻夜™ 10]

你的題目打錯了= ='

但真的算出來我只有一個答案

以下是解釋

假設當x=1,2,4,5時的餘式分別為r(1),r(2),r(4),r(5)

則可以推論

f(1)=f(5)=r(1)=r(5)

f(2)=f(4)=r(2)=r(4)

因為題目有提到

f(1)=f(5) > f(2)=f(4)

所以將以上分別代入各選項

(1)5

跟x無關，r(1)=r(2)=r(4)=r(5)

也就是f(1)=f(2)=f(4)=f(5)

跟題目不合，所以(1)不能選

(2)-x+2.5

r(1)=-1.5

r(2)=-0.5

r(4)=1.5

r(5)=2.5

也跟題目不合

(3)x^2-6x+6

r(1)=1

r(2)=-2

r(4)=-2

r(5)=1

f(1)=f(5) > f(2)=f(4)成立

(4)-x^2+6x+8

r(1)=13

r(2)=16

r(4)=16

r(5)=13

又不合

(5)(x-3)^4+6

r(1)=22

r(2)=7

r(4)=7

r(5)=22

次數跟除式相同，不合

所以正解為(3)

[凌 10]

你的題目打錯了= ='

但真的算出來我只有一個答案

以下是解釋

假設當x=1,2,4,5時的餘式分別為r(1),r(2),r(4),r(5)

則可以推論

f(1)=f(5)=r(1)=r(5)

f(2)=f(4)=r(2)=r(4)

因為題目有提到

f(1)=f(5) > f(2)=f(4)

所以將以上分別代入各選項

(1)5

跟x無關，r(1)=r(2)=r(4)=r(5)

也就是f(1)=f(2)=f(4)=f(5)

跟題目不合，所以(1)不能選

(2)-x+2.5

r(1)=-1.5

r(2)=-0.5

r(4)=1.5

r(5)=2.5

也跟題目不合

(3)x^2-6x+6

r(1)=1

r(2)=-2

r(4)=-2

r(5)=1

f(1)=f(5) > f(2)=f(4)成立

(4)-x^2+6x+8

r(1)=13

r(2)=16

r(4)=16

r(5)=13

又不合

(5)(x-3)^4+6

r(1)=22

r(2)=7

r(4)=7

r(5)=22

次數跟除式相同，不合

所以正解為(3)

TM！

我把算式看完了喔...

至於我那題我再想想Q______________Q