函數可微分則連續?

[m12345 10]

f(x)在a處可微分→lim(x→a)f'(a)存在(以下省略x→a因為都是趨近a)

可得知

1→f'(a)左右極限存在且相等

2→lim f(x)=f(a)

但如何得知lim f(x)存在(才能得知函數連續?)?

謝謝~

有可能lim f(x)和f(a)不存在，但lim f(x)-f(a)/x-a卻存在

即函數在a可微分，但不會連續?

[core2 10]

應該沒有這種函數，

如果你能舉出實際的函數範例，

就可以比較具體回答你的疑問。

[楊少女 10]

標題的問題從邏輯推斷即可：

∵函數不連續點不可微分（是這樣沒錯吧！？）

∴可微分處必連續

[m12345 10]

應該沒有這種函數，

如果你能舉出實際的函數範例，

就可以比較具體回答你的疑問。

如果是分段函數呢?

f(x)

1在x=2時不存在

2在x≠2時f(x)=x

這樣f'(2)會存在，但f(2)不存在?所以函數點可微分但不連續?

標題的問題從邏輯推斷即可：

∵函數不連續點不可微分（是這樣沒錯吧！？）

∴可微分處必連續

><為何不連續點就不可微分?

[heinsolid 10]

看微分的定義就知道了。f '(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)

[m12345 10]

看微分的定義就知道了。f '(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)

您能否再說明的詳細一點?

要如何從lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)存在→推導出lim(x->a)f(x)存在?

[core2 10]

如果是分段函數呢?

f(x)

1在x=2時不存在

2在x≠2時f(x)=x

這樣f'(2)會存在，但f(2)不存在?所以函數點可微分但不連續?

以上個人見解，提供你參考。

[heinsolid 10]

您能否再說明的詳細一點?

要如何從lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)存在→推導出lim(x->a)f(x)存在?

lim(x->a) (x-a) = 0，所以lim(x->a)f(x) = f(a)必須要成立，lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)才會有定義。

[m12345 10]

以上個人見解，提供你參考。

lim(x->a) (x-a) = 0，所以lim(x->a)f(x) = f(a)必須要成立，lim(x->a) [f(x)-f(a)]/(x-a)才會有定義。

謝謝兩位，是因為lim(x->a) [f(x)-(不存在)]/(x-a)一定不存在嗎?

[core2 10]

謝謝兩位，是因為lim(x->a) [f(x)-(不存在)]/(x-a)一定不存在嗎?

此內容已被編輯, February 10, 2011 ,由 core2

[m12345 10]

謝謝 我懂了！

[五月飛雪 11]

core2 錯了很多步.......我也不知道從何糾正起

至於可微分必定連續的證明

　　　　　　　　　　　　 f(x) － f©

設 f'© 存在 , 則它等於 lim ───────

　　　　　　　　　　x→c　x － c

因

　　　　　　 f(x) － f©

f(x) ＝ f© ＋ ─────── x － c

　　　　　　　 x － c

兩邊取極限

得到

　　　　　　　　　　 f(x) － f©　　　　　　　　　　　f(x) － f©

lim f(x) ＝ lim f© ＋ lim ─────── x － c ＝ lim f© ＋ lim ─────── lim x － c

x→c　　　　　　　　　x － c　　　　　　　　　　　　　x － c

＝f© ＋ f'© × 0

＝f©

因此在 c 點連續

[xjfucsingB 10]

真的欸

此內容已被編輯, September 27, 2011 ,由 xjfucsingB

[火羽 10]

是單變數函數可微分則連續

看定義就知道了