微分一題

[steve1012 10]

在stewart裡面看到的

有點像物理題目

題文如下

A ladder 6m long rests against a vertical wall. Let sita be the angle between the top

of the ladder and the wall and let x be the distance from the bottom of the ladder to the wall.

If the bottom of the ladder slides away from the wall, how fast does x change with respect to sita when sita= 60度

我不會打角度所以直接打成sita

懇求大家幫忙

[↖⊙﹏⊙＼＼小彥★↗ 10]

所以這題不是問ｄｘ／ｄｔ？

你可以把ｘ寫成６ｓｉｎΘ吧

然後就微下去代６０度囉？

此內容已被編輯, July 13, 2010 ,由 ↖⊙﹏⊙＼＼小彥★↗

[第六天魔王 10]

Implicit Differentiation吧

[↖⊙﹏⊙＼＼小彥★↗ 10]

不可能吧

這又不是物理題

角度明顯是時間變數啊　幹嘛隱微

[第六天魔王 10]

這是小弟的解法 不知道對不對

求x在Θ=60度的變化率

也就是dx/dt再x=(3根號3)時的值

x=6sinΘ同時對t做隱函數微分

dx/dt=6cosΘ*dΘ/dt

dx/dt=6cos*d(arcsin(x/6))/dt

除了dx/dt不知道其他都知道

x帶(3根號3)就好了

以上是小弟粗淺的見解 錯的話請多多包含

[k0185123 11]

這是小弟的解法 不知道對不對

求x在Θ=60度的變化率

也就是dx/dt再x=(3根號3)時的值

x=6sinΘ同時對t做隱函數微分

dx/dt=6cosΘ*dΘ/dt

dx/dt=6cosΘ*d(arcsin(x/6))/dt

除了dx/dt不知道其他都知道

x帶(3根號3)就好了

以上是小弟粗淺的見解 錯的話請多多包含

哦

小小弟的看法有三

1.沒必要再換成d(arcsin(x/6))/dt,會顯得更複雜而已..而且你可能也不知道那個微分等於啥

　給你個作業試試看，y = arcsin(x),求dy/dx，如果會了，然後手癢想積分，也可試試看∫arcsin(x)dx

2.你可知道d(arcsin(x/6))/dt代入x=3√3是多少？...@"@...????

這就像是問你，我肯定速度是dx/dt，然後請問..我在x=3√3時的速度，是一樣的道理..

微分後再代值，跟微分前代值接著微分，是兩回事哦...

3.這題要用到能量守恆跟一些幾何關係式

假設地面為零位面、梯子為細棒！(如果假設平板，那轉動慣量就跟寬度有關..)

so

mg(L/2) = 0.5*mvc^2 + 0.5*(1/12*mr^2)*ω^2 + mgh'

h' = L*cosθ*0.5

∴0.5gL = 0.5*vc^2 + 0.5*(1/12)*r^2*ω^2 + 0.5*g*L*cosθ

∴同除0.5且將r=0.5L代入

gL = vc^2 + (1/12)*0.25*L^2ω^2 + gLcosθ

接著就是你們所求的dx/dt與vc、ω的關係了

首先來看看這五個式子

1.x^2 + y^2 = L^2

對t做微分，2x*dx/dt + 2y*dy/dt = 0 ; xVx = -y*Vy

一定有人會很納悶，為啥有負號？

那是因為....dx = lim(Δx->0)Δx

2.dx/dt = 6*cosθ*dθ/dt

3.θ = θ' (過質心的鉛質線與梯子的夾角)

4.dθ'/dt = dθ/dt = ω

5.vc^2 = Vx^2 + Vy^2

所以囉

θ = 60° ; L = 6

gL = vc^2 + (1/12)*0.25L^2ω^2 + gLcosθ

Vx = 6*cosθ*ω = 3ω

Vy = -xVx/y = -√3Vx

所以

gL = [9ω^2 + (-√3)^2 * 9ω^2] + (1/12)*0.25*6^2*ω^2 + 0.5gL

0.5g*6 = 36 * ω^2 + 0.75ω^2 = 36.75ω^2

g = 12.25ω^2 , ω = (g/12.25)^(1/2)

∴Vx = 3/3.5 * g^(1/2) = 6/7 * √g

---------------------------

I = ∫r^2 *dm = ∫r^2 * ρdr = 1/3*ρr^3|(-0.5R)~(0.5R) = (1/3) * ρ * （1/4) * R^3 = 1/12 * ρR * R^2 = 1/12 * m * R^2

此內容已被編輯, July 13, 2010 ,由 k0185123
補上轉動慣量證明

[第六天魔王 10]

y = arcsin(x),求dy/dx

是1/根號(1-u^2)吧 ∫arcsin(x)dx 就不會了

太神了

但是我物理太爛

完全看不懂

[k0185123 11]

是1/根號(1-u^2)吧 ∫arcsin(x)dx 就不會了

太神了

但是我物理太爛

完全看不懂

來　教你分部積分

首先

令 f = f(u,v)

df = d(uv) = D(uv)/Du * du + D(uv)/Dv * dv = udv + vdu 這是全微分(詳細的以後再說)

其中，D(uv)/Du = (uv)對u做偏微分

(我打不出偏微分的符號..so...用那個代替.."D"其實是微分運算子的符號)

udv = d(uv) - vdu

∫udv = uv - ∫vdu

∫arcsin(x)dx = arcsin(x) * x - ∫x*1/(1-x^2)^(1/2) dx

∫x*1/(1-x^2)^(1/2) dx , 令x = sinθ

∫sinθ * cosθ * dθ/cosθ = ∫sinθdθ = -cosθ + C = -(1-x^2)^(1/2) + C

∴∫arcsin(x)dx = x * arcsin(x) - [-(1-x^2)^(1/2) + C]

= x * arcsin(x) + (1-x^2)^(1/2) + C

(C is constant,所以乘上負號還是C,看你要不要把之前的C寫為C',都沒差)

我一點都不神..

聞道有先後，術業有專攻^^

我只是比你早學而已，而且也許我有算錯..Hmm

此內容已被編輯, July 13, 2010 ,由 k0185123

[第六天魔王 10]

喔我大概知道了

ｕ=arcsinx

x=sin(u)

dx=cos(u)*du

∫arcsin(x)dx=∫ucos(u)*du

[k0185123 11]

喔我大概知道了

ｕ=arcsinx

x=sin(u)

dx=cos(u)*du

∫arcsin(x)dx=∫ucos(u)*du

看來這位學弟很愛理科!?高一就會微積分了

不過可別忘了多出去走走，看看這世界

看到你跟樓主這麼認真向學，真讓我感到無地自容..@@

此內容已被編輯, July 13, 2010 ,由 k0185123

[第六天魔王 10]

過獎了

不過其實我只會一半而已

偏微分 多重積分都還不會 (積分也很遜)

[djshen1217 10]

我怎麼算出來是6根號(g/7)

差根號7

囧了

還有學長你的Vx是跟地板接觸那端的速度?Vy是跟牆壁接觸那端的速度?

那Vc^2應該不等於Vx^2+Vy^2 ??

有錯請指教@@

此內容已被編輯, July 16, 2010 ,由 djshen1217

[k0185123 11]

我怎麼算出來是6根號(g/7)

差根號7

囧了

還有學長你的Vx是跟地板接觸那端的速度?Vy是跟牆壁接觸那端的速度?

那Vc^2應該不等於Vx^2+Vy^2 ??

有錯請指教@@

wow

應該....

Vx - Vc = ω*(L/2)

Vy - Vc = ω*(L/2)

才對................................

我搞錯了..＠＠

我再想想看該怎麼寫才比較好

此內容已被編輯, July 16, 2010 ,由 k0185123