【圓與球】4題有關「圓」的題目

[B0858B 11]

小弟我有4題不太會寫，可以拜託各位大大幫我解答一下嗎?謝謝

1.以(199，0)為圓心，199為半徑的圓，其圓上共有幾個格子點?

2.A、B為平面上相異的兩點，以A點為圓心的圓尚有一動點C，在△ABC中，作∠A的內角分角線交BC邊於P點。求P點的軌跡。

3.給定1個圓及其內部一點A，考慮所有矩形ABCD，其中B、D在圓上。求C點的軌跡。

4.半徑均為3的3個圓，圓心分別為(14，92)、(17，76)、(19，84)。過點(17，76)作一直線，使得這3個圓位於這條直線某一側的面積和等於位於這條直線另一側的面積和。求這條直線斜率的絕對值。

[訪客 yi416]

4. 第二個圓無需考慮; 照題目的問法, 直線必會同時切割剩餘兩圓, 所以說直接猜測答案為:

直線同時過點: ( [14+19] / 2 , [92+84] / 2 ) = ( 16.5 , 88 )

直線斜率的絕對值為: | (88-76) / (16.5-17) | = 24

唉... 我笨笨的 ><

此內容已被編輯, March 5, 2010 ,由 yi416

[楊少女 10]

第一題

x(398-x)=y^2且y不等於零

會什麼會推論到x=(398-x)？

[Kinor 吐司 10]

2.A、B為平面上相異的兩點，以A點為圓心的圓尚有一動點C，在△ABC中，作∠A的內角分角線交BC邊於P點。求P點的軌跡。

我想這題P點的軌跡是個圓

線段AB就是此圓(動點P的軌跡)的直徑

此內容已被編輯, February 21, 2010 ,由 Kinor 吐司

[訪客 yi416]

第一題

x(398-x)=y^2且y不等於零

會什麼會推論到x=(398-x)？

x,y必為整數

[楊少女 10]

x,y必為整數

兩相異整數相乘也可能乘出完全平方數呀???

[訪客 yi416]

兩相異整數相乘也可能乘出完全平方數呀???

對喔 = =' 那這一題還有甚麼好解法嗎? 還是說要一個一個檢查... :s

[howt 10]

小弟我有4題不太會寫，可以拜託各位大大幫我解答一下嗎?謝謝

1.以(199，0)為圓心，199為半徑的圓，其圓上共有幾個格子點?

2.A、B為平面上相異的兩點，以A點為圓心的圓尚有一動點C，在△ABC中，作∠A的內角分角線交BC邊於P點。求P點的軌跡。

3.給定1個圓及其內部一點A，考慮所有矩形ABCD，其中B、D在圓上。求C點的軌跡。

4.半徑均為3的3個圓，圓心分別為(14，92)、(17，76)、(19，84)。過點(17，76)作一直線，使得這3個圓位於這條直線某一側的面積和等於位於這條直線另一側的面積和。求這條直線斜率的絕對值。

1. 此圓為(x-199)^2+y^2=199^2，以z代換x-199，

可知相當於求z^2+y^2=199^2之整數解，考慮其非零整數解；

由畢式三元數以及199是質數可知必存在正整數m、n使得m^2+n^2=199；但199≡3(mod4)

而k^2≡0或1(mod4)，矛盾，因此無非零整數解(當然也可以把m=1~14帶進去窮舉)。

故僅有4解(0,±199)、(±199,0)共四個格子點。

2.由角平分線定理，BP/BC = BA/(BA+AC) = 常數k

而從B點觀察可發現動點C形成一圓，由廣義的相似形可知P點軌跡也為一圓。

其圓心O' 滿足BO'/BA = k ，半徑也滿足r'/r=k。

3.作一直線L過圓心O平行AB，易證C點是A點對L的鏡像，因此C點之軌跡是以OA為半徑，O為圓心的圓。

4.樓上已有解答

[MrHaley 10]

1. 此圓為(x-199)^2+y^2=199^2，以z代換x-199，

可知相當於求z^2+y^2=199^2之整數解，考慮其非零整數解；

由畢式三元數以及199是質數可知必存在正整數m、n使得m^2+n^2=199；但199≡3(mod4)

而k^2≡0或1(mod4)，矛盾，因此無非零整數解(當然也可以把m=1~14帶進去窮舉)。

故僅有4解(0,±199)、(±199,0)共四個格子點。

小弟我的算答案不太一樣

是因為z沒換回x嗎?

格子點是整數的意思嗎?

做法如下: (x-199)^2+y^2=199^2

>>>参數式 x= 199cosθ +199

y=199sinθ

因為要符合格子點的要求

所以199cosθ,199sinθ

意思說cos需要有199的因數 <<這裡解釋有點怪,不知道怎麼講= =" 麻煩高手幫忙講解清楚。

sinθ,cosθ=±1,0

用單位圓的角度想(cosθ,sinθ)

就會有(1,0) (0,1) (0,-1) (-1,0)

帶入得x y

四解

(388,0) (199,199) (0,0) (199,-199)

不知道這樣解有沒有錯= =?

此內容已被編輯, February 22, 2010 ,由 MrHaley
突然發現好像只要求格子點的個數。

[曾阿牛 10]

Re #9 MrHaley 大大　　格子點的確是指座標都是整數的點

z 沒必要換回 x　因為這題問的是數量 不是座標　所以答案　跟圓心的位置沒關

精確的說　只要圓心也在格子點上　這題的答案不被圓心的位置影響

個人的感覺是　不管是甚麼人　只要問心無愧　都應該昂首闊步

Re #8 howt 大大　關於第一題　對中學生來說　還是使用窮舉法比較適合

您的方法　保守估計 10 個大學唸數學系的人就有 8 個半 不會 ( 或不明其理 )

還有您的方法中　突然冒出一個 k 出來　不知代表何物？

另外　窮舉只需檢驗 m 從 1 到 9 就可以了　所以　窮舉對於此題來說　真的不怎麼麻煩

但題目若不是 199 的話 ...... 　一般情形還是要用到大學數論

關於第三題　　大大主張：『C點是A點對L的鏡像』

但個人發現　只有在部分範圍下才成立　有些範圍無法將 C 看成 A 的鏡像　　所以個人不敢接受您的理由

另外　當 A 不在圓周上時　C 的位置就會落在圓外　所以 C 的軌跡若是以 O 為圓心的圓　那麼半徑不可能是 OA

此內容已被編輯, February 22, 2010 ,由 曾阿牛

[howt 10]

>>>参數式 x= 199cosθ +199

y=199sinθ

因為要符合格子點的要求

所以199cosθ,199sinθ

意思說cos需要有199的因數 <<這裡解釋有點怪,不知道怎麼講= =" 麻煩高手幫忙講解清楚。

sinθ,cosθ=±1,0

用單位圓的角度想(cosθ,sinθ)

就會有(1,0) (0,1) (0,-1) (-1,0)

帶入得x y

四解

(388,0) (199,199) (0,0) (199,-199)

這方法是有問題的，舉例來說把你的作法中199改成5

同樣也得4解

但是其實還有3^2+4^2=5^2

[howt 10]

Re #8 howt 大大　關於第一題　對中學生來說　還是使用窮舉法比較適合

您的方法　保守估計 10 個大學唸數學系的人就有 8 個半 不會 ( 或不明其理 )

還有您的方法中　突然冒出一個 k 出來　不知代表何物？

另外　窮舉只需檢驗 m 從 1 到 9 就可以了　所以　窮舉對於此題來說　真的不怎麼麻煩

但題目若不是 199 的話 ...... 　一般情形還是要用到大學數論

關於第三題　　大大主張：『C點是A點對L的鏡像』

但個人發現　只有在部分範圍下才成立　有些範圍無法將 C 看成 A 的鏡像　　所以個人不敢接受您的理由

另外　當 A 不在圓周上時　C 的位置就會落在圓外　所以 C 的軌跡若是以 O 為圓心的圓　那麼半徑不可能是 OA

1. k表示任意正整數k的意思，不過我懶的寫，畢竟只是給一下大略想法；至於這玩意，競賽教材都會教，基本上可以不算大學數論。

2.第三題我發現是我看錯題目了，以為BD是相鄰兩點，還想說題目怎那麼無聊呢，哈哈!

只要證明OA^2+OC^2 = OB^2+OD^2 即可(這很好證)，因此OC^2 = 常數，即以O為圓心之圓，半徑由前式可得。

[MrHaley 10]

這方法是有問題的，舉例來說把你的作法中199改成5

同樣也得4解

但是其實還有3^2+4^2=5^2

果然還是不行@@

我是想用參數式應該是可行的方法,不過不知道錯哪 ((抓頭

明天問老師,再將此法的正解發表上來

[夢境的行旅 10]

第一題　

　　　什麼大學數論，不就平方數除四不是1 就是0。不過是略施小技省掉了窮舉的麻煩而已。

　　　howt的答案夠好了，就怪你解釋懶惰XD

第二題化成方程式是簡潔的，不過幾何意義就是樓上所說，P是C點對B的一個伸縮變換(dialation)。說實在要看出這點本題才算是一個"題目"，而不是算術練習。

簡單的代數法也可以不失一般性的設A=(0,0) B=(a,0) C=(cosθ,sinθ) P點只是明顯是圓

OS1 : 怎麼每個人都在說一定要數學系才會數學。這樣呆丸怎麼強的起來啊。

OS2 : 第二題中三角形ABC的內心的軌跡形成一個方程式雖醜，但畫出來頗漂亮的圖形。有程式的可以繪製看看。先說結果圖形是蛋形。

此內容已被編輯, February 25, 2010 ,由 夢境的行旅

[曾阿牛 10]

夢境的行旅 大大　老實說　關於第一題　個人還真的看不懂 howt 大大的答案

之前個人提到大學數論　那是個人猜測 howt 大大的解題思路後　

運用個人作所學知識來解題　並非看懂 howt 大大的答案　恕在下愚鹵

請您發發善心　替在下解答疑惑　在下也不敢要您全部從頭解釋　

這就將自己不明白之處點出　請您或是 howt 大大詳細解釋：

題目是既然相當於求 z^2+y^2=199^2 之整數解

那為何 howt 大大 只談 m^2+n^2=199；199≡3(mod4)

而不談 199^2 ;　199^2≡1(mod4) ？

如果過程中 有使用到什麼定理或工具　也煩請敘述　感謝不盡

[曾阿牛 10]

窮舉只需檢驗 m 從 1 到 9 就可以了　所以　窮舉對於此題來說　真的不怎麼麻煩

呃... 這裡 在下竟然被誤導了

如果是處理 m^2+n^2=199 的確只需檢驗 m 從 1 到 9 就可以了

在處理 m^2+n^2=199^2 時　最少也要檢驗到 140

所以...　窮舉法幾乎也行不通

[howt 10]

題目是既然相當於求 z^2+y^2=199^2 之整數解

那為何 howt 大大 只談 m^2+n^2=199；199≡3(mod4)

而不談 199^2 ;　199^2≡1(mod4) ？

如果過程中 有使用到什麼定理或工具　也煩請敘述　感謝不盡

我應該有寫 「由畢式三元數以及199是質數」這句話

畢氏三元數：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_26_01_1/page2.html

[曾阿牛 10]

Re #17 howt　喔　我明白了　　感謝您的回覆

不過　我之前的不明白　著實是因為您敘述的太少

當然啦　您這樣的敘述　夢境的行旅 大大 竟然還能看得懂　我真是服了

此內容已被編輯, March 7, 2010 ,由 曾阿牛

[howt 10]

Re #17 howt　您沒回答到我的問題　我也不是不知道畢氏三元數

題目是既然相當於求 z^2+y^2=199^2 之整數解　注意唷　這裡是 199 的平方

但是你處理的是 199 　你分析 199≡3(mod4)　卻不分析 199^2≡1(mod4)

我不知道為何一定要分析199^2 ?

一個不定方程在通過某個modK的檢驗之後不代表他一定會有解。

分析199^2之後只是告訴你原不定方程可能有解、也可能無解，這種分析結果等於做白工。

[曾阿牛 10]

...這種分析結果等於做白工。

所以我以前就以為你在做白工呀

從 z^2+y^2=199^2 看到 m^2+n^2=199 時　當初以為你把平方忘了

因為你沒有交代 m 和 n 是代表畢式三元數的參數... 　

總之　對我而言　你寫得不夠清楚　　但對 夢境的行旅 大大來說就已經夠了

所以 howt 大大算是有知音了　　

我現在也知道您的做法　事實上是很好的方法　所以我謝謝您的回覆

話說回來　夢境的行旅 大大 對我的發言有所誤會　

我可從來沒有說這個問題只有唸數學系的人才會　　我現在還認為他譙錯對象了

呆丸也不是真的呆　只是 教與學之間 作者與讀者之間 有所誤會與隔闔　

一味的在乎數學強不強　無法快樂的學習數學

想要證明自己數學比較強　只是把數學當作傷人的工具　也顯得自己心靈上的空虛

當然　要怪只怪我們的教育失敗　特別是品德教育

..... 也不能怪教育　只是教育的作用很大　教育辦的好　社會才會慢慢正常起來

我的感覺是　這個社會　到處充滿愛　也到處缺乏愛

到處充滿愛　是指　到處都有人不斷的替他人付出與著想　

到處缺乏愛　是指　到處都有人缺乏別人的關愛

缺乏愛的人　往往會發起一些莫名其妙的爭執 莫名其妙的衝突 莫名其妙的對立

我就這樣莫名其妙的被波及到

此內容已被編輯, March 8, 2010 ,由 曾阿牛