【數列級數】算術-幾何平均

夢境的行旅 · December 15, 2009

算數-幾何平均是一種以遞迴定義的平均數

　 $gif.latex?\begin{matrix}%20a_0=x%20\\%20g_0=y%20\end{matrix}$ 　　　 $gif.latex?\large%20\left\{\begin{matrix}%20a_{n+1}=\frac{a_n\:%20+\:%20g_n}{2}\\%20g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}%20\end{matrix}\right.$

　 $gif.latex?\large%20a_0$ 和 $gif.latex?\large%20g_0$ 收斂到同一個數，稱作算數-幾何平均數(AGM, Arithmetic-geometric Mean)

舉例來說

　　　　ａ　　　　　　　　　　ｇ

0　　　2　　　　　　　　　　13

1　　　7.5　　　　　　　　　5.09901951359278

2　　　6.29950975679639　　6.18406390264088

3　　　6.24178682971863　　6.24151991836432

4　　　6.24165337404148　　6.24165337261474

5　　　6.24165337332811　　6.24165337332811

6　　　6.24165337332811　　6.24165337332811

這個遞迴收斂的非常快，在六次迭代就達到小數點以下第12位。

證明收斂至同一個數的方法也很簡單，有幾種證法，例如：

1. 由算幾不等式

　 $gif.latex?\large%20\forall%20n\in%20N,\;%20\;a_n%3Eg_n$

2. 設

　 $gif.latex?\large%20d_n=a_n-g_n$

　 $gif.latex?d_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}-\sqrt{a_{n-1}\cdot%20g_{n-1}}=\frac{\left%20(%20\sqrt{a_{n-1}}-\sqrt{g_{n-1}}%20\right%20)^2}{2}%3E0$

3.

　 $gif.latex?d_n-d_{n+1}=(a_n-g_n)-\frac{\left%20(%20\sqrt{a_{n}}-\sqrt{g_{n}}%20\right%20)^2}{2}$

　 $gif.latex?=(\sqrt{a_n}-\sqrt{g_n})\cdot%20(\sqrt{a_n}+\sqrt{g_n})-\frac{\left%20(%20\sqrt{a_{n}}-\sqrt{g_{n}}%20\right%20)^2}{2}$

　 $gif.latex?=\frac{1}{2}\left%20(%20\sqrt{a_{n}}-\sqrt{g_{n}}%20\right%20)\left%20(\sqrt{a_{n}}+3\sqrt{g_{n}}%20\right%20)%3E0$

所以

　 $gif.latex?d_n%3Ed_{n+1}$

d是遞減數列，又有下界0。所以極限存在(其實就是0，即an-gn→0)。

其實我笨了，由數線來看明顯有「算數平均、幾何平均之差小於原數差」。因此你說這個數存在顯然可見也行。而且有

$gif.latex?AM(x,y)\geq%20AGM(x,y)%20\geq%20GM(x,y)$

請問各位，要怎麼計算它的收斂速度？

夢境的行旅 · December 15, 2009

收斂速度是例如 Babylonian method (求平方根) 和牛頓法(求近似根) 的速度是每次兩倍有效位數。

howt · December 18, 2009

2dn+1*an+2 = (an+1-gn+1)(an+1+gn+1) =

an+1^2 - gn+1^2 = [(an+gn)/2]^2 - angn = (dn/2)^2

=> (dn^2)/dn+1=8an+2

當n夠大時，8an+2 ~ c (常數)

因此(dn^2)/dn+1 ~ c 為平方收斂

這是比較粗糙的估計

夢境的行旅 · December 23, 2009

倒著寫howt大的算式是這樣：(尬的，怎麼這麼順暢)

$gif.latex?\left%20(\frac{d_n}{2}\right%20)^2=\left%20(\frac{a_n-g_n}{2}\right%20)^2=\left%20(\frac{a_n+g_n}{2}\right%20)^2-a_ng_n%20\\\\={a_{n+1}}^2-{g_{n+1}}^2=\left(a_{n+1}+g_{n+1}\right%20)\left(a_{n+1}-g_{n+1}\right%20)=2\,%20a_{n+2}\,%20d_{n+1}$