【數學】證明題

[kisowon 10]

試証：若n.q.r都是正整數，則n^(4q+r)與n^r的末位數字相同

*証　兩個數字的末位數相同，其差一定是10的倍數，因此我們考慮n^(4q+r)與n^r之差：

n^(4q+r)-n^r=n^r[(n^4q)-1]=n^r{[(n^4)^q]-1}

由於[(n^4)^q]-1有因式(n^4)-1，因此n^(4q+r)-n^r有因式n[(n^4)-1]，由費馬小定理，5|[n(n^4)-1] 又

n[(n^4)-1]=n[(n^2)+1](n+1)(n-1)，顯然，2|n(n-1)，從而2|n[(n^4)-1]。因為(2，5)=1

所以10|n[(n^4)-1]

從而10|n^(4q+r)-n^r

因此，10|n^(4q+r)-n^r

因此末位數字相同

一樣是別人問我的

藍色的部分不知道怎麼解釋

謝謝

[weiye 10]

一、

因為 (x^q-1) = (x-1)(x^(q-1)+x^(q-2)+....+1) ←直接把右邊乘開就可以看出來了

所以把 x 用 n^4 取代，

可得 『由於[(n^4)^q]-1有因式(n^4)-1，因此n^(4q+r)-n^r有因式n[(n^4)-1]』

二、“費馬小定理：若 p 是質數，n 是正整數，則 n^(p-1)-1 有 p 的因數。”

將定理中的 q 用 5 取代，可以得到 n^4-1 有 5 的因數。

可得 『由費馬小定理，5|n[(n^4)-1] 』

有不小心打錯或是看錯或是想錯要告訴我喔~ :p

[kisowon 10]

二、“費馬小定理：若 p 是質數，n 是正整數，則 n^(p-1)-1 有 p 的因數。”

是n^(p-1)....................吧(看題目的樣子)

後面有再-1嗎??

[五月飛雪 11]

最初由 kisowon 發表

二、“費馬小定理：若 p 是質數，n 是正整數，則 n^(p-1)-1 有 p 的因數。”

是n^(p-1)....................吧(看題目的樣子)

後面有再-1嗎??

有

其實妳可以自己代數字看看啊:P

這個定理我高三時也有自己發現耶:o

設n為質數 a為正整數 a<n

則 a^n 除以 n 餘 a

但想不出來要怎麼證明ˊˋ

後來才發現這其實是費馬小定理Orz