【數學】最簡分數題

[mythman 11]

試求自然數n的最小值，使下列每個分數都是最簡分數

19/21+n、20/22+n、21/23+n、.....、91/93+n

答案是3嗎？還是95？

要解釋喔！

[dodoku 12]

我試試看...

如果題目所說皆為最簡分數

看它們的倒數...

(21+n)/19 , (22+n)/20 , ... , (93+n)/91

通通減1 還會是最簡分數

好比說最簡分數3/5倒數是5/3 減掉1得到2/3依然是最簡分數

反之 20/25倒數25/20減掉1得到5/20亦不是

一個想法 目前沒有嚴謹的證明

不過由此出發

可把題目變成是要求

(2+n)/19 , (2+n)/20 , ..... (2+n)/91 都必須是最簡分數

也就是說(2+n)要跟{19 , 20 , 21 ,22 ....91}都互質...

而跟 {....} 數列互質的數...第一個是1 不過這樣n是-1不合題目要求

下一個便是比91大一點的質數...97...

所以n = 95

大概是這樣囉

猜測成分居多 詳細嚴謹一點就有勞各高手了

[introspective 10]

輾轉相除法的原理：

a=bq+r

則(b,r)整除a，故(b,r)|(a,b)

又r=a-bq，(a,b)整除r，故(a,b)|(b,r)

即(a,b)=(b,r)

最簡真分數n/m，(n,m)=1

m=n*1+(m-n)

(m,n)=(n,m-n)=1

故m/n-1=(m-n)/n仍為最簡分數