【微積分】指對數的微分問題，想請教大學生或資優生。

[rick8036 10]

這問題是在〝微積分之屠龍寶刀〞一書中

第262頁

d/dx 〈ln x〉= 1/x

為什麼呢？書中只寫不拐彎抹角，然後就列出來

好像並沒有說明為什麼

還是在其他地方

我沒發覺呢

麻煩大家！

:E

[Xiang 10]

如果是想要先修微積分的話，建議去買一本微積分課本吧

反正大一沒有意外也會用到，大部分的微積分課本應該都差不多

至於這個問題嘛... 首先重點是要知道 ln 是 exp 的反函數

也就是 exp(ln(x)) = x 和 ln(exp(x)) = x

現在令 y = ln(x) 則 dy/dx 就是要求的東西

y = ln(x) 所以 exp(y) = x

dx/dy = exp(y) = exp(ln(x)) = x

dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/x

大概就這樣吧

[typhoonss821 10]

我是這麼記得.....

設f(x)=a^x 則f'(x)=(a^x)[lim(a^h-1)/h](h→0)

而[lim(a^h-1)/h](h→0)是個與x與無關的項，換句話說是個常數

當時數學家發現這個項在a小於某數實小於1，大於某數時大於1

因而定義那個某數為現在熟知的e(lim(1+1/n)^n n→無限大)

由此定義即可推知d(lnx)/dx=1/x了.....

[黃昏Dacapo 10]

如果是想要先修微積分的話，建議去買一本微積分課本吧

反正大一沒有意外也會用到，大部分的微積分課本應該都差不多

至於這個問題嘛... 首先重點是要知道 ln 是 exp 的反函數

也就是 exp(ln(x)) = x 和 ln(exp(x)) = x

現在令 y = ln(x) 則 dy/dx 就是要求的東西

y = ln(x) 所以 exp(y) = x

dx/dy = exp(y) = exp(ln(x)) = x

dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/x

大概就這樣吧

exp(x)就是e^x吧(第一次看到exp(x)這種寫法XD)

我記得dy/dx exp(x)=exp(x) 是由dy/dx ln(x)=1/x 推出來的

所以不能用你所說的這種方法證...不然就要先證出dy/dx exp(x)=exp(x)...(我做不到orz)

----分格線----

首先要知道定義e=lim (1+1/n)^n (n→無限)或lim(1+n)^(1/n) (n→0)

求dy/dx ln (x)由導數定義:lim [ln(x+h)-ln(h)]/h (h→0)

[ln(x+h)-ln(h)]/h=(ln[(x+h)/h])/h=[ln(x/h+1)]/h=ln[(x/h+1)^(1/h)]=(ln[(1+x/h)^(h/x)])/x

由h→0得(h/x)→0 令h/x=n

則:lim [ln(1+n)^(1/n)]/x (n→0)=lim (ln e)/x=1/x

求dy/dx e^x

y=e^x則ln(y)=x

dx/dy =1/y

所以dy/dx=y=e^x

[superman771214 10]

把lnX 換成以e為底的指數在作微分

之後再代換

就可以換出1/x了

[Xiang 10]

唉, 一次回一回好了

首先是 exponential 的定義...

基本上最初的定義應該很難去探討...

不過不管是哪一種定法, 要說是他的定義應該都沒啥問題

不如就用 Rudin 的定法吧XXD

定義 exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

接著你可以證它是一個指數函數 (證 exp(x+y) = exp(x)*exp(y) )

然後再驗證 exp(0) = 1, 再定義 e = exp(1), 於是可得 exp(x) = e^x

接著可以證 d/dx exp(x) = exp(x) (直接對上面那個定義微分就好了)

當然還可以證 lim(n→inf) (1+x/n)^n 就是 exp(x)

反正就有的沒有的, 這是某一種定義法...

不管怎麼定, .都可以把其他的性質證出來...

至於 ln 呢... 一般而言通常會定他是 exp 的反函數...

基本上對數是從指數定義過來的, 不過也沒什麼關係, 爽就好

反正這種東西等到大學即使你不願意也非搞清楚不可

高中就當消遣看一看吧

[黃昏Dacapo 10]

這就牽涉到定義問題了啊...

其實我自己也不太清楚

最早是定義 exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...嗎？

我會有這個疑問是因為

有可能是由dy/dx exp(x) = exp(x)

利用泰勒展開式，找出exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

大概是我太懶～懶得去找出這一切的歷史

反正一切我都不是了解得很詳細

[倒唸是章魚 10]

這個教授解釋的滿詳細的!!

他從2^x開始講到exponential

(不用怕英文...看黑板就好XDD)

[Mr.clever 10]

用微積分一開始教的極限就夠了!!

lim(h-->0) {[ln(x+h)]-ln(x)}/h=ln[(x+h)/x]/(h)=ln[1+(h/x)]/(h/x)ｘ(1/x)[h/x=k-->k一樣趨近於零 ]

>>ln[(1+k)^k]ｘ(1/x)=ln(e)ｘ(1/x)=(1/x)

此內容已被編輯, August 25, 2010 ,由 Mr.clever