【數學】軌跡所形成面積

[清風明月 10]

給定空間中兩定點A(0,0,6)B(0,0,20)現有一動點P(x,y,0)且角APB>=30度

求P點的軌跡所形成的面積?

怎麼算都算不出學資上給的答案>"<

[~J~ 10]

好懷念阿XD

這題我去年也不會，拿去補習班問輔導老師也是卡了二十分鐘左右才解出來

單純就根據這條件的話

要先知道，P跟O的距離是一個範圍，太大不行太小也不行

既然x,y沒給範圍，那就表示p的圖形出來應該是個圓環

OP長度只要在該範圍內，於XY平面上繞一圈都符合

先假設op長度a，角OPB為β，角OPA為α

畫個圖很快可以看出，β-α=角APB=所求

(圖就自己稍微畫一下吧||| )

根據題目

角APB>=30度

換成之前的假設：β-α>=30度

兩邊取tan：tan(β-α)>=1/√3

又，從圖上可以得知：

tanα=6/a

tanβ=20/a

對，下一步就跟你想的一樣，tan合角公式展開代入

可以寫出一個a的二次方程式

代公式解根，可以解出4√3=< a <=10√3

之後不用想那麼多了，大圓面積減掉小圓面積就是答案：２５２π

不過我去年卡的那題還有兩個條件

0=< x <=15

0=< y <=15

好，多了這兩個條件，要如何處理呢

首先，圓環會只剩下第一象限的部份

再來，估計一下長度，可以發現15<10√3<15√2

這表示

由x,y範圍限制所圍出來的正方形

是有一小塊在

由角度限制所圍出來的圓環之外

標點

I(15,0)，L(0,15)

J,K分別為圓環以及正方形的交點

由它們至原點的長度為10√3，以及它們的x,y有其中一項是15

以畢氏定理即可求得這兩點分別為J(15,5√3)，K(5√3,15)

所以，所求面積便是由

線段OI，線段IJ，圓弧JK，線段KL以及線段LO所圍出來的區塊扣掉裡面半徑為4√3的四分之一圓

再來，出現了一個可愛的不規則區塊

我的算法是

連OJ以及OK

將面積分成三塊：兩全等三角形OIJ以及OKL+扇形OJK

全等三角形的面積不難算，二分之一底乘以高可以得知兩塊面積合為75√3

扇形的面積則是二分之一乘以半徑的平方再乘以張角(徑度)

張角目前好像不知道，不過沒關係

或許剛剛在處理三角形面積時你已經由邊長發覺：OIJ及OKK是兩個30-60-90的三角形，且角IOJ=角KOL=30度

又，角IOL=90度，所以我們可以得知扇形的張角也就是角KOJ=30度=π/6

所以扇型面積就是(10√3)^2*π/(6*2) =25π

最後再扣掉裡面的四分之一小圓面積：(4√3)^2*π/4=12π

加加減減可得到最終答案：75√3+13π　我手邊的學資是給這答案

手邊暫時沒有能畫圖的東西，所以圖可能要請學弟自行想像畫一下囉

我想我應該有敘述清楚吧　囧