【三角函數】一個合差積互化的問題

[AgLomoer 10]

設 cosα + cosβ + cosγ = 0 ， sinα + sinβ + sinγ = 0 試求下列各值

(1) sin^2α + sin^2β + sin^2γ

(2) cos^2α + cos^2β + cos^2γ

(3) sinα sinβ + sinβ sinγ + sinγ sinα

------------------------------------------------------------------------------------------------------

答: (1) 3/2 (2) 3/2 (3) -3/4

我原本想說是不是把上面兩個條件是平方

平方後就不會作了....= =""

[夢境的行旅 10]

技巧是既然什麼角度都可以，乾脆在三個未知角裡面，把其中一個角度代入好算的角度

例如 γ = 0, sinγ = 0, cosγ = 1

再利用

cosα + cosβ = - cosγ = - 1

sinα + sinβ = - sinγ = 0

解出 cosα = cosβ = -1/2 然後所求即可算出

順便幫樓下的驗算，題目沒有錯，絕對沒有少條件。

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應該有更「優雅」的方法，不過遇到考試臨時想不到時，只要題目沒出錯這個方法都會成功。

→→→搞不好原po已經知道此法XD

樓下請貼正解

[夢境的行旅 10]

投籃自接，我犯規了XD

1°

cosα + cosβ = - cosγ

sinα + sinβ = - sinγ

兩式平方相加

→2+2 ( cosα cosβ + sinα sinβ) = 1

→cos(α-β) = -1/2

2°

sinγ = - ( sinα + sinβ ) = - 2 sin (α+ β /2) cos(α- β /2)

cosγ = - ( cosα + cosβ ) = - 2 cos(α+ β /2) cos(α- β /2)

兩式相除

→ tanγ = tan (α+ β /2)

因為cos 2θ = (1 - tan^2 θ) / (1 + tan^2 θ) ，上式又等於

→ cos 2γ = cos (α+ β)

3°

由二倍角公式

所求(1) (2) 分別 = 3/2 ± 1/2 (cos2α + cos2β + cos2γ)

其中

cos2α + cos2β + cos2γ

和差化積

= 2 cos (α+ β) cos (α- β) + cos2γ

由2°

= 2 cos (α+ β) cos (α- β) + cos (α+ β)

= cos(α+ β) * [2 cos (α- β) + 1]

由1° cos (α- β) = - 1/2

= cos(α+ β) * 0

=0 ##

故 (1) = (2) = 3/2

===============================================================

這樣第(3)用sinα + sinβ + sinγ = 0 平方就可以算了

這是帥帥的Q.E.D.

[howt 10]

設 cosα + cosβ + cosγ = 0 ， sinα + sinβ + sinγ = 0 試求下列各值

(1) sin^2α + sin^2β + sin^2γ

(2) cos^2α + cos^2β + cos^2γ

(3) sinα sinβ + sinβ sinγ + sinγ sinα

------------------------------------------------------------------------------------------------------

答: (1) 3/2 (2) 3/2 (3) -3/4

我原本想說是不是把上面兩個條件是平方

平方後就不會作了....= =""

令x= cosα+isinα，y= cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ

由題目知x+y+z=0.....(a)

令x為x的共軛複數，其他以此類推

顯然xyz≠0......(b)

(a)/(b) => 1/xy+1/yz+1/xz=0 => xy+yz+xz = 0

兩邊取共軛得xy+yz+xz=0，與(1)式的平方比較即可得x^2+y^2+z^2=0

於是可得cos2α+cos2β+cos2γ = 0，用2倍角公式即可得到(1)、(2)答案

然後將題目所給之兩式平方相加，與xy+yz+xz=0之實部比較即可得到(3)之答案。

[AgLomoer 10]

感謝樓上兩位大大 我會了:E

但是呢....

夢大的解法好像有一點點的瑕疵

在2°中sinγ = - ( sinα + sinβ ) = -2 sin(α +β / 2)sin(α - β / 2)

應該是 = -2 sin(α +β / 2)cos(α - β / 2) 才對吧...

再來 cos2α + cos2β + cos2γ 的合差化積也有問題!!

2cos(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)

應該等於 cos(α+β) * [2cos(α-β) + 1]

然後由cos(α-β) = -1/2

cos(α+β)*0 = 0 ......

不過錯誤剛好負負得正

答案竟然是對的??

還有howt的解法我不懂

我還不會複數那邊的...

[夢境的行旅 10]

不是負負得正啦，方法是對的，我在紙上的計算也沒問題。

是在打字的時候按複製→貼上→複製→貼上→複製→貼上→複製→貼上→複製→貼上

按太快，打完QED太高興沒有檢查......和差化積公式雖然(相對)很沒用但是還不至於忘記的。

[hyaline 10]

令x= cosα+isinα，y= cosβ+isinβ，z=cosγ+isinγ

由題目知x+y+z=0.....(a)

令x為x的共軛複數，其他以此類推

顯然xyz≠0......(b)

(a)/(b) => 1/xy+1/yz+1/xz=0 => xy+yz+xz = 0

兩邊取共軛得xy+yz+xz=0，與(1)式的平方比較即可得x^2+y^2+z^2=0

於是可得cos2α+cos2β+cos2γ = 0，用2倍角公式即可得到(1)、(2)答案

然後將題目所給之兩式平方相加，與xy+yz+xz=0之實部比較即可得到(3)之答案。

可設xyz為一個重心在(0,0)的正三角形 則α=θ , β=2π/3 + θ γ=4π/3 + θ

所以2α=2θ , 2β=4π/3 + 2θ , 2γ=2π/3 + 2θ 亦為一個重心在(0,0)的正三角形

於是可得cos2α+cos2β+cos2γ = 0

用2倍角公式即可得到(1)、(2)答案

[howt 10]

可設xyz為一個重心在(0,0)的正三角形 則α=θ , β=2π/3 + θ γ=4π/3 + θ

所以2α=2θ , 2β=4π/3 + 2θ , 2γ=2π/3 + 2θ 亦為一個重心在(0,0)的正三角形

於是可得cos2α+cos2β+cos2γ = 0

用2倍角公式即可得到(1)、(2)答案

其實這樣不會比較快

因為還要先證明外心與重心重合的三角形是正三角形(雖然很容易)

我都習慣寫"顯然"，然後就被給0分..

[夢境的行旅 10]

hyaline 講的正是 howt 的複數方法的幾何意義。兩個複數A B 的夾角θ等於

cosθ = ( AB + AB ) / |A| |B| 底線代表共軛，|A| 是徑長

cos(α-β) = cos(β-γ) = cos(α-γ) = -1/2 正表示三個角度兩兩差120°

這樣就可以隨便找三個等差，公差是2π/3的角度代入αβγ即可。 用 0° 120° 240° 秒殺本題

不亦快哉！

→所謂後見之明

[hyaline 10]

hyaline 講的正是 howt 的複數方法的幾何意義。兩個複數A B 的夾角θ等於

cosθ = ( AB + AB ) / |A| |B| 底線代表共軛，|A| 是徑長

cos(α-β) = cos(β-γ) = cos(α-γ) = -1/2 正表示三個角度兩兩差120°

這樣就可以隨便找三個等差，公差是2π/3的角度代入αβγ即可。 用 0° 120° 240° 秒殺本題

不亦快哉！

→所謂後見之明

沒錯

看到標題寫和差化積我就只想到和差化積

要不是howt用虛數解我還以為怎麼會有如此暴力的題目

所謂後見之明

→不亦快哉！

話說國中就學過外心與重心重合的三角形就只有正三角形

寫"顯然"然後被給0分......也太嚴格了吧~