【數學】證明題

[清風明月 10]

1.

0<p,q,r<1

證明pq+qr+rp-2pqr<1

2.

三角形ABC之三高與角ABC對應的邊a b c交於DEF三點

證明(1)三角形ABC的三高交於一點P

(2)P是三角形DEF的內心

(3)此三條線交角DEF對應的邊d e f於GHI三點 則P是三角形GHI的什麼心? 或什麼都不是?

[stojakovic206 10]

第一題

0<p,q,r<1

(1)當P,Q,R=1

PQ+QR+RP-2PQR=1...........(一﹚

(2)那我們先看看取任意p,q,r使得0<p,q,r＜1 又使p'=p-x, 0<x<p

那麼p'q+qr+rp'-2p'qr

=pq+qr+rp-2pqr+(2qrx-rx-qx)

=pq+qr+rp-2pqr+x(2qr-r-q)......(二)

又(r+q)/2 ≧　sqrt(qr)

>>(r+q) ≧2sqrt(qr)>2qr ('cause 0<qr<1).........(三)

故得知當p,q,r在0<p,q,r<1任何一數在另兩數不動時

一者有減少整式有減少

故(一)(二)(三)相互比較,先使P減少而Q.R不變,由(二)式知整式仍為1

再使 Q有減少,P,R不變,則pr<1符合(三）之狀況,此時

pq+qr+rp-2pqr<1,再遵循(二)(三)的結論得知

"0<p,q,r<1, pq+qr+rp-2pqr<1"為真

[深藍色‧水鯨 10]

關於第一個問題，我們老師課堂上讓我們證過了

他個人用了一個很強的方法

你先建構一個邊長是1的正立方體

建立三個互相垂直且重疊的長方體，令邊長為P、Q、R

接著你就會發現.....PQ+QR+PR-2PQR真的小於一

(因為那整個圖形會包括在邊長為一的正立方體內)

噢還有你第二個問題啊，三高交點不可能是內心啦

垂心證法.....你是高一學生嗎??如果是高二應該才剛考過，印象深刻啊@@"

[stojakovic206 10]

唉呀我怎麼沒想到要使用幾何性質呢一_一狠

讓我想到有個題目:

a.b.c.d.e.f.g.h belong to R

prove that (1) ad+bc (2)ce+df (3)eh+fg

(4) ae+bf (5)dh+eg (6)ah+bg

其中至少有一個不小於零

我歸納了五分鐘後發現我真的很鈍= =

還有阿

三角形ABC的三高真的是 三角形DEF 的內心阿

建中的大哥可能看錯題目啦

這題不管是用國中幾何性質或向量都能證的

;-)

[九天驚虹 10]

最初由 清風明月 發表

2.

三角形ABC之三高與角ABC對應的邊a b c交於DEF三點

證明(1)三角形ABC的三高交於一點P

(2)P是三角形DEF的內心

(3)此三條線交角DEF對應的邊d e f於GHI三點 則P是三角形GHI的什麼心? 或什麼都不是?

關於第二題

題目並沒有錯 是你們看錯題目囉

三高交點P是垂心沒錯

但卻是對於三角形ABC

而題目要求的是P對三角形DEF的關係

[清風明月 10]

嗯啊........范老是吧.......

後來他有講這"構造法" 太機八了= =

第二題倒是遲遲都沒有答案

我覺得是都沒有耶

他常丟一些奇怪的證明題.......讓我們搞半天= =